(Fuvest - SP) Relações de Girard II
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(Fuvest - SP) Relações de Girard II
por e.amaral Ter 25 Ago 2015, 19:31
O produto de duas raízes do polinômio p(x) = 2x³ - mx² + 4x + 3 é igual a -1. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes de p.
Gabarito: a) m = 7. b) 1 + √2,1 - √2, 3/2.
a) o valor de m;
b) as raízes de p.
Gabarito: a) m = 7. b) 1 + √2,1 - √2, 3/2.
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Re: (Fuvest - SP) Relações de Girard II
por PedroCunha Ter 25 Ago 2015, 19:51
Olá, spockdoo.
Sejam as raízes r,s e t com r*s = -1. Temos:
r+s+t = m/2 .:. r+s = (m-2t)/2 ... I
r*s + r*t + s*t = 2 .:. -1 + t*(r+s) = 2 .:. t*(r+s) = 3 ... II
r*s*t = (-3/2) .:. t = 3/2 ... III
de III em II: r+s = 3/[(3/2)] .:. r+s =2. Logo:
(m-2t)/2 = 2 .:. (m-3)/2 = 2 .:. m = 7
Como t = 3/2 é raiz, aplicando Briot-Ruffini:
(3/2) | 2 -7 4 3
2 -4 -2 0 <--> p(x) = [x - (3/2)] * 2*(x²-2x-1) .:. p(x) = 2*[x - (3/2)]*[x - (1+√2)]*[x - (1-√2)]
Logo:
Letra a: m = 7
Letra b: S = { (1+√2),(1-√2), 3/2}
Att.,
Pedro
Sejam as raízes r,s e t com r*s = -1. Temos:
r+s+t = m/2 .:. r+s = (m-2t)/2 ... I
r*s + r*t + s*t = 2 .:. -1 + t*(r+s) = 2 .:. t*(r+s) = 3 ... II
r*s*t = (-3/2) .:. t = 3/2 ... III
de III em II: r+s = 3/[(3/2)] .:. r+s =2. Logo:
(m-2t)/2 = 2 .:. (m-3)/2 = 2 .:. m = 7
Como t = 3/2 é raiz, aplicando Briot-Ruffini:
(3/2) | 2 -7 4 3
2 -4 -2 0 <--> p(x) = [x - (3/2)] * 2*(x²-2x-1) .:. p(x) = 2*[x - (3/2)]*[x - (1+√2)]*[x - (1-√2)]
Logo:
Letra a: m = 7
Letra b: S = { (1+√2),(1-√2), 3/2}
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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