Funções

Os gráficos das funções f(x)=x(ax+b) e g(x)= 2x+2 com {a,b} ∈ IR são :


http://www.ezimba.com/work/150820C/ezimba16182155933204.png


Esses gráficos têm dois pontos em comum , P e Q , Sendo P pertence ao eixo das abcissas.
a)calcule os valores das contantes reais a e b.
b)Determine os pontos P e Q.

No ponto P temos, g(x)=0 --> x=-1

P(-1,0)

Bom pelo gráfico já sabemos que 0 é raíz de f(x).

Logo f(x)=x.(x+1)
a=1 e b=1

Vamos achar o Ponto Q:

f(x)=g(x)

X²+x=2x+2
X²-x-2=0
(x-2).(x+1)=0
Já sabemos o Ponto P, quando x=-1, y=0
Logo o ponto Q, será x=2 e y=6.

Espero que tenha entendido. 

Podemos dizer que uma raiz da função f é 0, conforme o gráfico mostra. O que é verdade, pois f(0) = 0 . (a . 0 + b) = 0.
Agora, temos que outra raiz será quando o segundo termo for zero:
f(x) = 0 ---> ax + b = 0 ---> x = (-b)/a
Contudo, não sabemos esse ponto, e podemos dizer, primeiramente, que pelo gráfico (a) é positivo, pois a função tem concavidade para cima, e b também é positivo, pois o valor de x é negativo, como a imagem mostra.

Agora, temos que g(x)= 0 ---> 2x+2 = 0 --> 2x = -2 ---> x = -1
Ou seja, uma raiz de g(x) é -1. E como a raiz de g(x) é a mesma raiz de f(x), podemos dizer que:
x = (-b)/a = -1 ---> b = a
Agora, resta-nos saber exatamente os valores de a ou de b, visto que se soubermos um, saberemos o outro.

Uma maneira de descobrir isso, é utilizar o menor valor da parábola, isto é, o (-1) na figura.
Para isso, temos que o Y do vértice será equivalente a (-1), ou seja:
f(x) = ax² + bx + 0
y = -∆/4a = -(b² - 4 . a . 0)/(4 . a) = -b²/4a = -1
Logo, b² = 4a ---> b = 2 √a.

Agora que temos outra relação, é só utilizar a primeira achada:
a = b
b = 2√a
Logo:
a = 2√a
a² = 4a
a(a-4) = 0
Portanto, a=4(podemos perceber que a é diferente de zero, pois a parábola tem a positivo), e consequentemente b=4.
Logo, as funções são:
f(x) = x(4x+4); g(x)=2x+2

Agora, é só calcular os pontos de intersecção, que são fáceis:
Um é quando as funções tocam o eixo X, no caso (-1, 0).
O outro será quando f(x)=g(x) ---> 4x²+4x = 2x+2
Resolvendo a equação então obtemos que:
(x+1)(2x-1)=0
x = 1/2
Logo, o outro ponto será (1/2, 3)


Um gráfico "fiel" segue abaixo, onde f(x) é a vermelha, a parabola. E a reta g(x) é a azul.

Muito obrigado!