Raio da circunferência

Num triângulo ABC inscrito numa circunferência, sabe-se que  = 30°, ^B= 45° e AC = 12 cm.
Determine:
a) a medida do segmento BC;
b) o raio da circunferência.

Aplicação de Lei dos Senos:

12/sen 45 = BC/sen 30 = 12/(√2/2) = BC/(1/2) <--> BC = 12/√2 = 6√2
2R = BC/sen 30 <--> 2R = 12√2 <--> R = 6√2


Também poderíamos concluir que R = BC, pois BC é o lado do Hexágono Regular Inscrito.

Alzalé escreveu:Num triângulo ABC inscrito numa circunferência, sabe-se que  = 30°, ^B= 45° e AC = 12 cm.
Determine:
a) a medida do segmento BC;
b) o raio da circunferência.

Boa tarde, Alzalé.

Faça o esboço de uma circunferência de centro O.
Os ângulos de um triângulo em uma circunferência são do tipo inscrito.
O ângulo A, de 30°, subtende um arco de 60°.
Trace uma corda horizontal abaixo do centro O com medida igual a um raio (aproximadamente, por estar fazendo apenas um esboço).
Identifique o extremo esquerdo dessa corda com a letra C e o direito com a letra B.
Com vértice em B, trace (aproximadamente) uma corda fazendo ângulo de 45° com BC.
Identifique com a letra A a extremidade dessa corda ao interceptar a circunferência.
Assim fazendo, o ângulo BAC deverá ter por medida os 30° citados no texto da questão.

Temos, portanto, os seguintes ângulos nesse triângulo inscrito:
BAC = 30°
ABC = 45°
ACB = 105°

A partir do vértice C, baixe uma perpendicular ao lado AB, interceptando-o no ponto D.
Logo, teremos formado o triângulo retângulo ADC, onde temos:
CD/AD = tg 30°
CD/AD = √3/3
3*CD = AD*√3
CD = AD*√3/3 ................ (I)

Por outro lado, AC é a hipotenusa do triângulo retângulo ADC; logo, podemos escrever:
(AD)² + (CD)² = (12)² .... (II)

Aplicando-se (I) em (II), vem:
(AD)² + (AD*√3/3)² = 144
(AD)² + (AD)²/3 = 144
(AD)²*(1 + 1/3) = 144
(AD)² = 144/(4/3) = 144 * 3/4 = 432/4 = 108
AD = √108
AD = 6√3 cm

CD = AD*√3/3
CD = 6√3 * √3/3
CD = 6 cm

Observe, a seguir, o triângulo retângulo BDC:
^DBC = 45°
^DCB = 45° (por ser retângulo o triângulo)
BD = CD = 6 cm

(BC)² = (BD)² + (CD)² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72
BC = √72
BC = 6√2 cm

Raio da circunferência:
Como o arco BC mede 60°, ele tem medida igual ao raio, igual ao lado do hexágono.
Portanto, vem:
Raio = 6√2 cm



Um abraço.

Obrigada!!  :flower: