(FEI-SP) O comprimento da corda que a reta x

por Lauser Qui 30 Jul 2015, 15:03

(FEI-SP) O comprimento da corda que a reta x + y = 3
determina na circunferência de centro (2, 1) e raio 5/√2
é

gabarito
5 √ 2

por **Jader** Qui 30 Jul 2015, 15:32

A equação da circunferência será:

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{25}{2}$

Vamos agora achar os pontos de intersecção da reta y=-x+3 com a circunferência e depois calcular a distância entre esses dois pontos.

$\\(x-2)^{2}+([-x+3]-1)^{2}=\frac{25}{2}\\\\\Rightarrow (x-2)^{2}+(2-x)^{2}=\frac{25}{2}\\\\\Rightarrow x^{2}-4x+4+4-4x+x^{2}=\frac{25}{2}\\\\\Rightarrow x^{2}-4x-\frac{9}{4}=0\\\\\Rightarrow x=2\pm \sqrt{2}$

Agora, vamos achar a coordenada y de cada ponto cujo a primeira já achamos:

$\\y=-x+3\Rightarrow y=-(2+ \sqrt{2})+3\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\\\\e\\\\y=-(2-\sqrt{2})+3\Rightarrow y=1+\sqrt{2}$

Então os pontos são:

$(2+\sqrt{2},1-\sqrt{2});(2-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$

Agora calculando a distância entre esses dois pontos acharemos o comprimento da corda, ou seja:

$D=\sqrt{[(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})]^{2}+[(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})]^{2}}\\\\D=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(-2\sqrt{2})^{2}}\\\\D=\sqrt{16}\\\\D=4$

Creio que há algum desacerto com os dados da questão, pois não fazem bater com o gabarito. Mais o procedimento é esse.

por **xSoloDrop** Qui 30 Jul 2015, 15:43

Olá Jader. Acho que você errou nas raízes da equação do segundo grau.

Partindo dela:

∆=16+4.1.9/4

∆=25

x'=(4+5)/2=4,5

x''=(4-5)/2=-0,5

Voltando à equação da reta:

y'=3-x'=3-4,5=-1,5

y''=3-x''=3+0,5=3,5

Portanto a reta cruza a circunferência nos pontos (4,5;-1,5) e (-0,5;3,5)

A distância entre esses pontos representa o valor do comprimento da corda:

d=√[(4,5-(-0,5)²+(-1,5-3,5)²]

d=√50

d=5√2

Você também pode perceber que a reta passa pelo centro da circunferência (2,1), pois x+y=3 => 2+1=3

Desse modo, o comprimento da corda é igual ao diâmetro da circunferência:

c=2r

c=2.5/√2

c=2.5.√2/2

c=5√2

por **Jader** Qui 30 Jul 2015, 15:51

Ahh de fato me equivoquei, esqueci de inverter o sinal na segunda parcela do Delta.

Obrigado xSoloDrop pela correção do erro que me passou desapercebido.