Função Modular

por JF00 Sex 24 Jul 2015, 15:09

(Fempar-PR) O conjunto imagem da função f(x) = |x - 1| - |x + 2| e:

a) [-3;3]
b) [-3;+∞[
c) ]-∞;3]
d) R
e) R+

Gabarito: a

Existe uma forma de resolver sem a necessidade de se fazer o gráfico?

por **Carlos Adir** Sex 24 Jul 2015, 16:43

Existe sim!
Separamos:
$\\ \mathrm{|x-1|=}\begin{cases}\mathrm{x-1; \ \ se \ x-1 \ge 0} \\ \mathrm{-(x-1); \ \ se \ x-1<0} \end{cases} \\ \mathrm{|x+2| = \begin{cases}\mathrm{(x+2); \ \ se \ x+2 \ge 0}\\ \mathrm{-(x+2); \ \ se \ x+2<0} \end{cases}} \\ \mathrm{|x-1|-|x+2| = }\begin{cases}\mathrm{[-(x-1)]-[-(x+2)]; \ \ \ se \ x<-2} \\ \mathrm{[-(x-1)]-[(x+2)]; \ \ \ se \ -2 \le x < 1} \\ \mathrm{[(x-1)]-[(x+2)]; \ \ \ se \ 1 \le x} \end{cases}$
E reorganizando:
$\mathrm{|x-1|-|x+2| = }\begin{cases}\mathrm{3; \ \ \ se \ x<-2} \\ \mathrm{-2x-1; \ \ \ se \ -2 \le x < 1} \\ \mathrm{-3; \ \ \ se \ 1 \le x} \end{cases}$
Agora é só analisar. Se -2 ≤ x < 1, teremos que os valores serão entre -3 e 3.

por JF00 Sex 24 Jul 2015, 20:26

Carlos, muito obrigado pela ajuda!
Fiquei com uma pequena dúvida no final, se -2 ≤ x < 1, os valores não estariam dentro do intervalo [-3; 3[ ?

por **Carlos Adir** Sex 24 Jul 2015, 21:20

Estariam sim, por isso disse ao final, que os valores estarão entre -3 e 3.

por JF00 Sáb 25 Jul 2015, 10:51

Mas se -2 ≤ x < 1, então os valores estão no intervalo [-3;3[, só q no gabarito ta [-3;3]. Eu achei estranho esse x < 1 não seria -2 ≤ x ≤ 1?

por **Carlos Adir** Sáb 25 Jul 2015, 11:14

O correto é -2 ≤ x < 1, e não -2 ≤ x ≤ 1. Isso provém da definição de módulo, que diz:
$\mathrm{|x| =}\begin{cases}\mathrm{x; \ \ \ se \ 0 \le x} \\ \mathrm{-x; \ \ \ se \ x < 0} \end{cases}$
O sinal de menor ou igual são somente para os valores acima, e não para os abaixo.
Embora não mudem os valores, é importante diferenciar e não utilizar por exemplo:
$\mathrm{|x| =}\begin{cases}\mathrm{x; \ \ \ se \ 0 \le x} \\ \mathrm{-x; \ \ \ se \ x \le 0} \end{cases}$
Função Modular ZVf1q0l