(Escola Naval - 2001) Limites.

por RamonLucas Qui 23 Jul 2015, 23:23

Processo seletivo de admissão à Escola Naval / PSAEN-2011
Prova: Amarela

Calculando-se $\lim_{x\rightarrow 0^+}$ (cot g x)^sex, obtém-se

(A) (Escola Naval - 2001) Limites. AfsEBmYZSQcGPqVYoCbuDQxgAgBXnxgtUpwGRgAAAABJRU5ErkJggg==

(Escola Naval - 2001) Limites. AfsEBmYZSQcGPqVYoCbuDQxgAgBXnxgtUpwGRgAAAABJRU5ErkJggg==

(B) 0
(C) e
(D) -1
(E) 1

por **Carlos Adir** Sex 24 Jul 2015, 10:21

Confesso que tive um trabalhinho nessa.
$\\ \mathrm{\lim_{x \to 0^{+}}\left(\cot x \right )^{sen \ x}=\lim_{x \to 0^{+}}\left(\dfrac{cos \ x}{sen \ x} \right )^{sen \ x}=\lim_{x \to 0^{+}}\left(\dfrac{cos \ x}{ x} \cdot {\color{Red} \dfrac{x}{sen \ x}} \right )^{x \cdot {\color{Red} \frac{sen \ x}{x}}}=} \\ \mathrm{=\lim_{x \to 0^{+}}\left(\dfrac{cos \ x}{x} \cdot {\color{Red} 1} \right )^{x \cdot {\color{Red} 1}}=\lim_{x \to 0^{+}}\left(\dfrac{cos \ x}{x} \right )^{x}}$
Não consegui prosseguir sem utilizar derivada.
$\\ \mathrm{\lim_{x \to 0^{+}}\left(\dfrac{cos \ x}{x} \right )^{x}=\lim_{x \to 0^{+}}e^{x \cdot \ln \frac{cos \ x}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}e^{x \cdot \ln cos \ x } \cdot e^{-x \cdot \ln x} =} \\ \mathrm{=\lim_{x \to 0^{+}}e^{{\color{Red} x \cdot \ln cos \ x}} \cdot e^{{\color{Blue} \frac{\ln x}{\left(\frac{-1}{x} \right )}}}=\lim_{x \to 0^{+}}e^{{\color{Red} 0}} \cdot e^{{\color{Blue} \frac{\left(\frac{1}{x} \right)}{\left(\frac{1}{x^2} \right )}}}=\lim_{x \to 0^{+}}e^{x}=1}$

por vieirasouza Qua 25 maio 2016, 19:15

lim x=o,
se a expressão esta elevada as sen x, e sen 0 = 0,
podemos dizer que a expressão eh elevada a 0 que é = 1.
isso pode ser resolvido assim?

por **laurorio** Qua 25 maio 2016, 19:40

lim[x->0^+](cotgx)^senx = y

lny = lim[x->0^+] senx . ln(cotgx) = ln(cotgx)/cosecx = oo/oo ---> L'H

[(1/cotgx) . -cosec²x] / - cosecx.cotgx = senx/cos²x = 0

lny = 0 ---> y = e^0 --> y = 1

por vieirasouza Qua 25 maio 2016, 20:31

laurorio, vc entendeu o que eu quis dizer?
pq assim, basicamente, limite nao é um valor que o x pode possuir? e sendo assim, não seria só substituir no x do expoente seno? que daria : numero elevado 0?