(Escola Naval - 2016) Limites

por **Lucas Pedrosa.** Ter 30 Jan 2018, 22:25

Sendo k=\lim_{x\rightarrow +\propto }\left ( \frac{x^{2} +5x+4}{x^{2}-3x+7}\right )^{x}, então ln(2k)+log5 é igual a:

\\\\(A)\;\left ( 1-\frac{1}{ln10} \right )ln2+9\\\\(B)\left ( 1+\frac{1}{ln10} \right )ln2+7\\\\(C)\left ( 1-\frac{1}{ln10} \right )ln2-9\\\\(D)\left ( 1+\frac{1}{ln10} \right )ln2+9\\\\(E)\left ( 1+\frac{1}{ln10} \right )ln2-7

Gabarito: A

por **Elcioschin** Ter 30 Jan 2018, 22:52

Dividindo numerador e denominador por x²:

x² + 2.x + 4 .... 1 + 2/x + 4/x² .... 1 + 0 + 0
--------------- = ------------------ = ------------ = 1
x² - 3.x + 7 ..... 1 - 3/x + 7/x² ..... 1 + 0 + 0

k = 1

ln(2.1) + log5 = ln2 + log(10/2) = ln2 - log2 + log10 = ln2 - log2 + 1

ln2 + log5 = ln2 - ln2/ln10 + 1 = (1 - 1/ln10).ln2 + 1

Não consegui chegar no gabarito

por Felipe Dias Soares Ter 30 Jan 2018, 22:57

(Escola Naval - 2016) Limites Limite_exp

Pelo limite fundamental exponencial temos que reduzir a forma 1+(termo)= $\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}$ , então o termo será a expressão subtraída 1.

Jogando no limite fundamental:

$1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}$

O comportamento do limite com x tendendo a infinito é definido pelo termo de maior grau (x^2 no caso), chegando ao seguinte limite equivalente ao primeiro:
$\left ( 1+\frac{8}{x} \right )^x=\left ( 1+\frac{1}{\frac{x}{8}} \right )^x=\left ( 1+\frac{1}{\frac{x}{8}} \right )^{8x/8}=\left ( \left ( 1+\frac{1}{\frac{x}{8}} \right )^{x/8} \right )^{8}=e^8$

Nao sei mexer com limites no latex, tomara que entenda

por Felipe Dias Soares Ter 30 Jan 2018, 23:04

Terminando a resolução:
ln( 2.e^8 )+1-log2

ln 2 - log2 + 9

ln2-ln2/ln10+9

ln2(1-1/ln10)+9

Qualquer dúvida pergunte.

por **Lucas Pedrosa.** Qua 31 Jan 2018, 18:43

Consegui:

\\1+termo=\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}-3x+7}\;\;\rightarrow \;\;termo=\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}-3x+7}-1=\frac{8x-3}{x^{2}-3x+7}\\\\\\\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}-3x+7}\ \right )^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty }\left ( 1+ \frac{8x-3}{x^{2}-3x+7}\ \right )^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty }\left ( 1+ \frac{8}{x}\ \right )^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty }\left ( 1+ \frac{1}{\frac{x}{8}} \right )^{\frac{8x}{8}}\\\frac{x}{8}=t\rightarrow \lim_{t \rightarrow \infty }\left ( 1+ \frac{1}{t}\ \right )^{8t}=e^{8}=k\\\\\\ln(2\cdot e^{8})+log5=ln2+ln(e^{8})+[log10-log2]=ln2+8+[1-\frac{ln2}{ln10}]=\left ( 1-\frac{1}{ln10} \right )ln2+9

Muito Obrigado!

por **Willian Honorio** Qua 31 Jan 2018, 20:51

Estava tentando resolver essa questão substituindo, grosseiramente, o polinômio racional por algo do tipo 1/y. Além de ser errado do ponto de vista teórico, levava a um resultado obsoleto cujo limite não existe. Essa informação do polinômio irracional em limites infinitos é bastante importante, apesar de não ser muito comentada pelos estudantes de Cálculo. Uma explicação razoável é o fato do termo x² (como disse o Felipe) crescer ''muito mais'' que os outros coeficientes, nos quais podem ser desprezados nesse caso. O mesmo ocorre com a função 8x-3.

por Felipe Dias Soares Qui 01 Fev 2018, 13:01

(Escola Naval - 2016) Limites 7H5uMQi69u459AAAAAElFTkSuQmCCAA==

Não explanei completamente essa primeira passagem.
O comportamento do limite com x tendendo a infinito é definido pelo termo de maior grau (x no numerador e x^2 no denominador) sendo '-3' no numerador e '-3x+7' "ignorados", então a passagem, mais detalhadamente,fica da seguinte maneira:
$\left ( 1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7} \right )=\left ( 1+\frac{8x}{x^2} \right )=\left ( 1+\frac{8}{x} \right )$