(Escola Naval - 2004) Função real derivável.

PROCESSO SELETIVO DE ADMISSÃO À ESCOLA NAVAL (PSAEN/2004)
1° Fase. 7° Questão. Não possou o gabarito.

Sabenso-se que y(x) é uma função derivável em todo o seu domínio e que y' (x)= e^3x + (1)/(x² +2x +2) + (1)/(1-3x)  e y(0)= ∏/4 + 4/3, pode-se afirmar que y (-1) é igual a

(A) e^-3 -2ln 2/3

(B) 4e^-3 + 5/4

(C) e^-3 -3ln 2+3/3

(D) 3-2ln 2 + e^-3 /3

(E) e^-3 -ln 2/3

y' (x)= e^3x + (1)/(x² +2x +2) + (1)/(1-3x)


y (x) =  ∫ [ e^3x + (1)/(x² +2x +2) + (1)/(1-3x) ] dx 
y (x) =  ∫ e^3x  dx  + ∫ (1)/(x² +2x +2)  dx  + ∫ (1)/(1-3x) dx 


∫ e^3x  dx  =  ⅓ e^3x
∫ (1)/(x² +2x +2)  dx =  ∫ (1)/[(x+1)²+1]  dx  =  ∫ (1)/(u²+1)  du  = arctg(u) = arctg(x+1)
                                                      u = x+1      du = dx    
∫ (1)/(1-3x)  dx   =  ∫ (1)/(u) (-⅓) du = -⅓∫ (1)/(u) du = -⅓ ln|u| = -⅓ ln|1-3x|


y(x) =  ⅓ e^3x + arctg(x+1) -⅓ ln|1-3x|

y(0) =  ⅓ e^3.0 + arctg(0+1) -⅓ ln|1-3.0| = ⅓ e⁰+ arctg(1) - ⅓ ln|1| = ⅓ + ∏/4

y(-1) = ⅓ e^3(-1)+ arctg(-1+1) -⅓ ln|1-3(-1)| = ⅓ e^(-3)+ arctg(0) -⅓ ln|4| = ⅓ e^(-3)+ 0 -⅓ ln|2²|
y(-1) = ⅓ e^(-3) -⅓ ln|2²|   =   ⅓ [e^(-3) - 2ln|2|]

Como as alternativas não possuem parenteses, imagino que seja a letra a) [e^-3 -2ln 2]/3