Trigonometria

por wbao Ter 30 Jun 2015, 10:05

Resolva a equação cosa - cosx = sen(x - a), com a≠∏/2 + 2k∏

por **Carlos Adir** Ter 30 Jun 2015, 12:04

Pra resolver essa questão, vamos utilizar:
$\\ \mathrm{Protasferese:} \\ \mathrm{cos \ x - cos \ y = - 2 \cdot sen \left(\dfrac{x+y}{2} \right ) \cdot sen \left(\dfrac{x-y}{2} \right )}$
$\\ \mathrm{Soma \ de \ arco:} \\ \mathrm{sen \left(x \pm y\right)= sen \ x \cdot cos \ y \pm sen \ y \cdot cos \ x} \\ \mathrm{cos \left(x \pm y \right )=cos \ x \cdot cos \ y \mp sen \ x \cdot sen \ y} \\ \mathrm{sen \left(2x \right )=2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x}$
$\\ \mathrm{Relac\~oes \ de \ seno \ e \ cosseno:} \\ \mathrm{sen \ (x)= - sen \ (-x)} \\ \mathrm{cos \ (x)= cos \ (-x)}$
Agora o que utilizamos:
1ª Linha para a 2ª linha:
Protasferese e Soma de arco
2ª Linha para a 3ª linha:
Relações de cosseno e seno
3ª Linha para a 4ª Linha:
Soma de arco
4ª Linha para a 6ª Linha:
Manipulação algébrica

Resolvendo então a questão:
$\\ \mathrm{cos \ a - cos \ x = sen \left(x-a \right )} \\ \mathrm{-2 sen \left(\dfrac{a+x}{2} \right )\cdot sen \left(\dfrac{a-x}{2} \right )=2 sen \left(\dfrac{x-a}{2} \right ) \cdot cos \left(\dfrac{x-a}{2} \right )} \\ \mathrm{sen \left(\dfrac{x-a}{2} \right ) \left[sen \left(\dfrac{a+x}{2} \right )-cos \left(\dfrac{x-a}{2} \right ) \right ]=0} \\ \mathrm{sen \left(\dfrac{x-a}{2} \right ) \left[ \left(sen \dfrac{a}{2}cos\dfrac{x}{2} + sen \dfrac{x}{2} cos \dfrac{a}{2} \right )- \left(cos \dfrac{a}{2} cos \dfrac{x}{2} + sen \dfrac{a}{2} sen \dfrac{x}{2} \right )\right ]=0} \\ \mathrm{sen \left(\dfrac{x-a}{2} \right )\left[cos \dfrac{x}{2} \left(sen \dfrac{a}{2} - cos\dfrac{a}{2} \right ) - sen \dfrac{x}{2} \left(sen \dfrac{a}{2} - cos \dfrac{a}{2}\right ) \right ]=0} \\ \mathrm{sen \left(\dfrac{x-a}{2} \right ) \left(cos \dfrac{x}{2} - sen \dfrac{x}{2} \right ) \left(sen \dfrac{a}{2}-cos \dfrac{a}{2} \right )=0}$
Então a solução será quando o primeiro termo será zero:
$\mathrm{sen \dfrac{x-a}{2} =0 \Rightarrow \dfrac{x-a}{2} = k\pi \Rightarrow x = a+2k\pi; \ k \in \mathbb{Z}}$
Ou quando o segundo termo for zero:
$\\ \mathrm{sen \dfrac{x}{2}-cos\dfrac{x}{2} =0 \Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi} \\ \mathrm{x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi; \ \ k \in \mathbb{Z}}$

Ou seja, a resposta final é:
$\mathrm{x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ ou \ a + 2k\pi; \ \ \ k \in \mathbb{Z}}$

por wbao Ter 30 Jun 2015, 12:40

Obrigado

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