Para quantos valores de α, sendo 0 <= α <= 2p

por OliviaTate Seg 29 Jun 2015, 05:48

Para quantos valores de α, sendo 0 <= α <= 2pi, a sequência (3 tg α, 3 sec α, 6) constitui uma progressão geométrica?
a) Nenhum
b) 1
c) 2
d) 4
e) Infinitos

por **Carlos Adir** Seg 29 Jun 2015, 11:45

Em uma PG de termos a, b, c, obtemos a seguinte relação: ac = b²
Então:
$\\ \mathrm{ \left(3 \cdot tan \ \alpha \right ) \cdot 6 = \left(3 \cdot sec \ \alpha \right )^2} \\ \mathrm{2tan \ \alpha = sec^2 \alpha }$
Podemos lembrar que sec² x = 1 + tan² x. Então:
$\\ \mathrm{2tan \ \alpha = 1+tan^2 \ \alpha} \\ \mathrm{tan^2 \ \alpha - 2 \cdot tan \ \alpha + 1 =0} \\ \mathrm{\left(tan \ \alpha - 1 \right )^2 =0} \\ \mathrm{tan \ \alpha = 1}$

Ou seja, para os termos (3 tan α, 3 sec α, 6) formarem uma PG, é necessário apenas que tan α = 1. Logo, no intervalo [0, 2pi] existem apenas dois valores que satisfazem. Creio que saiba quais Very Happy