Integral de Linha --> Como resolver?

por **Pietro di Bernadone** Sáb Jun 27 2015, 23:47

$Integral de Linha --> Como resolver? Gif$ onde $Integral de Linha --> Como resolver? Gif$ é a curva dada por $Integral de Linha --> Como resolver? Gif$ de $Integral de Linha --> Como resolver? Gif$ a $Integral de Linha --> Como resolver? Gif$ .

por **mauk03** Dom Jun 28 2015, 01:17

Parametrizando:
$x=t$ , $y=t^{3}$ e $-1\leq t\leq 1$

Diferencial:
$ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}}dt=\sqrt{1^{2}+(3t^{2})^{2}}dt=\sqrt{9t^{4}+1}dt$

Assim:
$\int_{C}|y|ds=\int_{-1}^{1}|t^{3}|\sqrt{9t^{4}+1}dt=\int_{0}^{1}t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}dt+\int_{-1}^{0}(-t^{3})\sqrt{9t^{4}+1}dt$ $=2\int_{0}^{1}t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}dt$

Fazendo $u=9t^{4}+1$ , tem-se $du=36t^{3}dt$ .
$\int t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}dt=\int \frac{\sqrt{u}}{36}du=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{54}=\frac{(9t^{4}+1)^{\frac{3}{2}}}{54}$

Logo:
$\int_{C}|y|ds=2\left [ \frac{(9t^{4}+1)^{\frac{3}{2}}}{54} \right ]_{0}^{1}=\frac{10^{\frac{3}{2}}-1}{27}$