Marinha - Vetores

Considere B um plano gerado pelos vetores u = i + j - k , e o vetor v = 2i + 3j + 5k e (0,0,1) um ponto de B.
Se B intercepta os eixos coordenados OX, OY, OZ respectivamente nos pontos P=(a,0,0) , Q=(0,b,0) e R=(0,0,c).
Então o valor da soma de a+b+c, vale?
R: 55/56

Como o plano é gerado pelos vetores u e v, então isso nos diz que os dois vetores pertencem ao plano. Portanto, se fizermos o produto vetorial deles acharemos um novo vetor que será perpendicular tanto a u quando a v, ou seja, é um vetor normal ao plano.

Sabemos também que para determinarmos um plano basta termos o vetor normal ao plano e um ponto desse plano, então iremos calcular esse nosso vetor normal ao plano.

Fazendo o produto escalar de u com v temos:

, que esse w é normal ao plano procurado.

Assim, temos que a equação do plano será:



Sabendo que o ponto (0,0,1) é um ponto do plano, então usaremos ele para determinar esse termo independente "d", ou seja, substituindo o ponto na equação do plano temos:



Agora de posse da equação do plano bem definida, vamos achar as intersecções com os planos coordenados, então fazendo a substituição de cada ponto na equação do plano acharemos os seguintes pontos: