Qual o periodo dessa função?

por OliviaTate Seg 22 Jun 2015, 07:27

Qual o período dessa função?
y=cos²x

Eu sempre calculo o período como P = 2pi/|C|, nesse caso o |C| é 1, portanto o período é 2pi?

por **Carlos Adir** Seg 22 Jun 2015, 08:08

O período é Pi.
Podemos reescrever a função cos² x como:
$\mathrm{\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}}$
E portanto, o período é pi.
Podemos perceber também que cos² x = 1 quando cosseno for 1 ou for -1. Deste modo, o máximo ocorre duas vezes a cada volta. Isso indica que o período diminui à metade.

por OliviaTate Seg 22 Jun 2015, 10:56

Mestre Carlos, perdoe minha ignorância... Mas eu não entendi como vc descobriu que o período é pi
A parte do cos² x = 1 eu entendi
Essa parte: cos² x = (1+cos 2x)/2 eu não captei essa relação, poderia gentilmente me mostrar?

por **Carlos Adir** Seg 22 Jun 2015, 11:04

Claro!

$\\ \mathrm{Lembremos \ que \ cos \ 2x = cos^2 \ x - sen^2 \ x} \\ \mathrm{E \ que \ cos^2 \ x + sen^2 \ x = 1 \Rightarrow sen^2 \ x = 1-cos^2 \ x} \\ \mathrm{Deste \ modo, \ podemos:} \\ \mathrm{cos \ 2x = cos^2 \ x - sen^2 \ x } \\ \mathrm{cos \ 2x = cos^2 \ x - \left(1-cos^2 \ x \right )} \\ \mathrm{cos \ 2x = 2 \cdot cos^2 \ x - 1} \\ \mathrm{2 \cdot cos^2 \ x = 1 + cos \ 2x} \\ \mathrm{cos^2 \ x = \dfrac{1+cos \ 2x}{2}}$
$\\ \mathrm{Vale \ muito \ a \ pena \ lembrar \ dessas \ relac\~oes:} \\ \mathrm{cos^2 \ x = \dfrac{1+cos \ 2x}{2}} \\ \mathrm{sen^2 \ x = \dfrac{1-cos \ 2x}{2}}$