Qual é o período dessa função?

Seja f uma função real que satisfaz f(x+1) = 1+f(x) / 1-f(x) , para todo x em seu domínio. Qual é o período dessa função?

a) 2
b) 3
c) 4
d) 6

Usando a equação funcional f(x + 1) = (1 + f(x))/(1 - f(x)) deve-se chegar à uma equação do tipo: f(x) = f(x + P), onde P é o período da função f(x).

Para manipular a dita equação basta usar recorrência.

f(x + 1) = (1 + f(x))/(1 - f(x)) <=> f(x) = (f(x + 1) - 1)/(f(x + 1) + 1) -> (eq1)

Substituindo 'x' por (x - 1) em (eq1), vem:
f(x - 1)= = (f(x) - 1)/(f(x) + 1) <=> f(x) = (f(x - 1) + 1)/(1 - f(x - 1))-> (eq2)

De (eq1) e (eq2):
(f(x + 1) - 1)/(f(x + 1) + 1) = (f(x - 1) + 1)/(1 - f(x - 1)) <=>
<=> f(x - 1) = -1/f(x + 1) -> (eq3)

Substituindo (x - 1) por 'x' em (eq3), vem:
f(x) = -1/f(x + 2) <=> f(x + 2) = -1/f(x) -> (eq4)

Substituindo (x + 2) por 'x' em (eq4), vem:
f(x) = -1/f(x - 2) <=> f(x - 2) = -1/f(x) -> (eq5)

De (eq4) e (eq5), vem:
f(x - 2) = f(x + 2) -> (eq6)

Substituindo (x - 2) por 'x' em (eq6), vem:
f(x) = f(x + 4)

Portanto, o período da função é 4.

Nesse parte que você mostrou eu só usei manipulação algébrica:
1) multipliquei os dois membros da equação pelo denominador:
f(x + 1) = (1 + f(x))/(1 - f(x))  => f(x + 1).(1 - f(x)) = 1 + f(x)


2)Usei a propriedade distributiva da multiplicação no 1º membro:
f(x + 1) - f(x).f(x + 1) = 1 + f(x)


3)Adicionei f(x).f(x + 1) aos dois membros da equação:
f(x + 1) = 1 + f(x) + f(x).f(x + 1)


4)Adicionei  '-1' aos dois membros da equação e coloquei f(x) em evidência no 2º membro:
f(x + 1) - 1 = f(x).(f(x + 1) + 1)


5)Multipliquei os dois membros por 1/(f(x + 1) + 1):
f(x) = [f(x + 1) - 1]/[f(x + 1) + 1]

A recorrência foi usada depois desse passo.