Esboço de Gráficos

Olá, amigos.

Esboce o gráfico da função f(x) = \frac{x^3}{x^2+4} .

Bom, fiz o seguinte:

i) \\ D(f) = \mathbb{R}
ii) \\ f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
iii) \\ f'(x) = \frac{x^2 \cdot (x^2+12)}{(x^2+4)^2} .

Logo, o P.C. da função é: \\ x = 0 .

iv) \\ f'(x) > 0 \therefore \frac{x^2 \cdot (x^2+12)}{(x^2+4)^2} > 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0, \forall \,\, x \in \mathbb{R} | x \neq 0 .

Logo, o gráfico de f é crescente em todo o seu domínio.

Uma dúvida: f(0) não deveria ser mínimo - ou máximo - absoluto, visto que x = 0 é P.C. ? Porque isso não ocorre?

v) \\ f''(x) \frac{-8x \cdot (x^2-12)}{(x^2+4)^3} .

Logo, os candidatos à P.I. são: \\ x = 0, x = \pm 2\sqrt3 .

vi) \\ \begin{cases} f''(x) > 0 \therefore 0 < x < 2\sqrt3 \text{ ou } x < -2\sqrt3 \\ f''(x) < 0 \therefore x > 2\sqrt3 \text{ ou }  -2\sqrt3 < x < 0 \end{cases} .

Assim, em \\ (-\infty, -2\sqrt3] e [0, 2\sqrt3] , o gráfico de f tem concavidade para cima e em \\ (-2\sqrt3,0) e (2\sqrt3, +\infty) , o gráfico de f tem concavidade para baixo.

Como houve mudança de concavidade em x = 0 \text{ e } x = \pm 2\sqrt3 , esses pontos são P.I. .

vii) o gráfico de f não tem nenhuma A.V. ou A.H. .

Porém, o gráfico de f é:



porque ele é uma reta antes de (-2\sqrt3, f(-2\sqrt3)) e depois de (2\sqrt3, f(2\sqrt3)) ?

Alguém poderia sanar minhas dúvidas?

Grato pela atenção.

Abraços,
Pedro

Um ponto de inflexão também é um ponto crítico e tem derivada primeira nula.

O que lhe parece visualmente ser uma reta é uma curva muito suave.

Hmm.

Então ser um ponto crítico não garante que seja máximo ou mínimo absoluto?

Obrigado pela atenção.

Não garante. Vale lembrar também que um ponto onde f' não existe também é considerado ponto crítico e deve ser analisado.