OBM - 2012 - Q25

Esmeralda desenhou uma tabela com 100 linhas e 100 colunas e escreveu, na linha i e coluna j da tabela, mdc(i, j) se i < j e mmc(i, j) se i≥j. Por exemplo, na linha 4, coluna 6 ela escreveu mdc(4,6) = 2 e na linha 15, coluna 10 ela escreveu mmc(15,10) = 30. Qual é o produto de todos os 100^2 números da tabela?
A) 100!^99
B) 100!^100
C) 100!^101
D) mmc(1,2,3,...,100)^100
E) mdc(1,2,3,...,100)^100

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Solução:

Não entendi a parte do produtório (na última linha), não estou conseguindo ver que aquele produtório é 100!^99
Alguém poderia explicar?

a1,1.a1,1=1
a1,2.a2,1=2
a1,3.a3,1=3
a1,4.a4,1=4
..............
a1,99.a99,1=99
a1,100.a100,1=100

Continuando para a2,x (sem repetir os termos em que x é 1):
a2,2.a2,2=2.2
a2,3.a3,2=2.3
a2,4.a4,2=2.4
..........
a2,99.a99,2=2.99
a2,100.a100,2=2.100

Vou direto para os últimos:
a99,99.a99,99=99.99
a99,100.a100,99=99.100

a100,100.a100,100=100.100

Podemos fazer uma fórmula geral para cada produtório dos elementos da linha x de ax,y:
{100!.x^(101-x)}/(x-1)!

Fazendo alguns:

Há 100 100!.
nos fatorais nos denominadores, ocorrera cancelação de alguns fatores anteriores, como por exemplo: o 2^99 será dividido por 2^98.
Assim, terá mais um 100.
Chegamos em 100!^(101).

Não bateu com o gabarito.
Alguém para ajudar?