(IMO-2012)

Determine todas as funções f : Z → Z tais que, para todos os inteiros a, b, c que
satisfazem a + b + c = 0, a seguinte igualdade é verdadeira:
f(a)² + f(b)² + f(c)² = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a).
(Z designa o conjunto dos números inteiros.)

aí pessoal eu fiz e não achei uma resposta coerente , alguém pode me ajudar a resolver de um modo prático essa questão?

Como você já fez, sabe o quão fácil é obter f(0) = 0, e também a forma completamente equivalente

                                                       

Para b = 0, obtemos f(a) = f(-a) (então  f  é uma função par). Nossa relação, liberalmente usada na sequela, escreve agora

                                                        

Claramente, se f(1) = 0, tendo (f(a + 1) - f(a) - f(1))^2 = 4f(a) f(1) = 0 dá f( a + 1) = f(a) para todos os a, portanto f ≡ 0 (que verifica trivialmente).

Suponha, portanto, f (1) ≠ 0.
Se  f(k) = k^2f(1) para todos os números inteiros positivos  k, isso claramente fornece uma solução, facilmente verificável. Como f (k) = k^2f(1) é verdadeiro para k = 1, assuma que f (k) = k^2f(1) para todos os  1 ≤ k ≤ m, mas não para k = m + 1. Temos (f(m + 1) - f(m) - f(1))^2 = 4f(m) f(1), produzindo (f(m + 1) - (m^2 + 1) f(1))^2 = 4m^2f(1)^2, onde f(m + 1) = (m^2 + 1) f(1) - 2mf(1) = (m-1 )^2f (1) (a outra possibilidade, f(m + 1) = (m^2 + 1) f(1) + 2mf(1) = (m + 1)^2f(1), é descartada por nossa suposição, essa forma não continua por k = m + 1).

Agora, por um lado (f(2m) - f(m) - f(m))^2 = 4f(m) f(m) produz  (f(2m) - 2m^2f(1))^2 = 4m^4f (1)^2, levando a

                                                             

enquanto, por outro lado, (f(2m) - f(m + 1) - f(m-1))^2 = 4f(m + 1)f(m-1)  produz  (f(2m) - 2(m-1)^2f(1))^2 = 4(m-1)^4f(1)^2, levando a
   
                                                         

A única possibilidade de satisfazer ambas as relações é f(2m) = 0. Isso implica (f(n + 2m) - f(n) - f(2m))^2 = 4f(n) f(2m) = 0, forçando f(n + 2m) = f(n) para todos os  n ∈  , portanto f  é periódico com a duração do período  2m. Então

                                

para todos os  1 ≤ k ≤ m.

Isso oferece uma solução, tanto para m = 1 (quando  f(n) = 0 para n ≡ 0 mod 2 quanto f(n) = f(1) para  n ≡ 1 mod 2) e por  m = 2 (quando f(n) = 0  para  n ≡ 0 mod 4, f(n) = f(1) para  n ≡ 1, 3 mod 4 e f(n) = 4f(1) para n ≡ 2 mod 4), como é imediatamente verificado pelo que apenas foi provado no acima.

Vamos finalmente provar que, por m > 2, temos uma contradição. Realmente, então (f(m + 1) - f(m-1) - f(2))^2 = 4f(m-1) f(2) produz  (4f(1))^2 = 16(m-1)^2f (1) ^ 2, de onde (m-1) ^ 2 = 1, absurdo.