Determinar θ

Relembrando a primeira mensagem :

Determinar θ sabendo que a barra está em equilíbrio.

Spoiler:

Eu cheguei ao gabarito, mas não lembro que processo usei e já estou com sono demais para continuar tentando por hoje.
Agradeço.

Era sim uma pergunta, Medeiros, e muito te agradeço e parabenizo pela excelente resposta e o capricho até com desenhos. Fica realmente mais intuitivo, mas saberia dizer se existe uma prova, digamos, mais "matemática"? Não estou pedindo que faça, só quero saber se há mesmo.
Um outro modo que pensei posteriormente é o seguinte: se a barra está em equilíbrio, a soma vetorial das forças é 0 e há 3 forças atuando na barra e, portanto, devem formar um triângulo e o equilíbrio rotacional garante que essa forças concorrem em um único ponto.

Na figura eu tracei a linha de ação das normais (vermelho) e uma diagonal do retângulo formado. Agora, temos que o ponto de ação das forças já está definido e é o encontro das normais. Dessa forma, a linha de ação do peso deve passar por ali. Como a barra é homgênea, o peso "sai" exatamente do encontro da diagonal azul com a digonal AB (que é ponto médio delas). Assim, só há um jeito do peso sair dali e estar alinhado com o encontro das normais, que é estar sobre a própria diagonal azul. E como o peso é perpendicular ao chão, a reta azul tem de fazer 90° com o solo.
O que acha?

Um outro modo de analisar as figuras do Medeiros:

Para o equilíbrio, além dos somatórios das forças em dois eixos serem nulos, existe uma outra condição: o momento da força P em relação ao ponto C deve ser nulo. Isto implica o vetor P estar no alinhamento vertical de C !!!

Ashitaka, segundo entendo matemática é aquela criação do espírito humano feita para nos ajudar a traduzir a natureza. Assim, embora não hajam contas, considero minha resposta anterior perfeitamente matemática.

Mas há, sim, uma forma de mostrar isso analiticamente, usando conceitos físicos e contas de matemática. Inclusive, esse mesmo exercício está no volume 1 do livro de Física do Afonso & Finn (não tenho certeza da escrita pois cito de memória), do nível superior. Lá tem apenas a resposta:
tgθ = cotg(2α)

O Elcioschin já esquematizou os cálculos. Devemos ter somatório de forças em x e y igual a zero e, também, somatório dos momentos (torques) igual a zero.

Bem, notado, Elcioschin; também é uma boa forma de ver, agradeço!

Medeiros, sua resposta foi suficiente para mim; mas o rigor das provas me leva a querer saber se há formas analíticas como a expressão: tgθ = cotg(2α), pois se eu souber na hora, é o que vou usar para garantir que não tenham do que reclamar. Mas claro que se a argumentação for mais viável, como discutimos, é assim que farei. Mais uma vez, obrigado!