Números complexos

por Gogo1111 Dom 31 maio 2015, 18:18

Prove que:

(senx-icosx)^4=cis(4x) ∀ x ∈ℝ

por **Ashitaka** Dom 31 maio 2015, 18:34

(sen²x - 2isenxcosx - cos²x)² = (cos(2x) + isen(2x))² = cos²(2x) + 2isen(2x)cos(2x) - sen²(2x) = cos(4x) + isen(4x) = cis(4x).

por Gogo1111 Dom 31 maio 2015, 18:39

Obrigado.

por Convidado Dom 31 maio 2015, 19:55

$(senx-icosx)^{4}=(senx-icosx)^{2}(senx-icosx)^{2}$

$(sen^{2}x -cos^{2}x-2senx.i.cos)(sen^{2}x -cos^{2}x-2senx.i.cosx)$

Irei ''extrair'' o (-1) de cada expressão em parênteses acima.

$(-1)(cos^{2}x-sen^{2}x+2senx.i.cosx)(-1)(cos^{2}x-sen^{2}x+2senx.i.cosx)$

Lembrando que sen2x=2.senx.cosx e cos2x=cos²x -sen²x, temos:

$(cos2x+sen2x.i)(cos2x+sen2x.i)$

$cos^{2}2x +2.cos2x.sen2x.i + i^{2}senx$

$cos^{2}2x-sen^{2}2x+ 2sen2xcos2x.i$

$cos4x + sen4x.i=cis4x$

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