Derivada Direcional

por neoreload Ter 26 maio 2015, 04:22

Pessoal qual o passo a passo para resolver essa:

Ache a derivada direcional de f em p na direção indicada :

f (x, y, z) = $Derivada Direcional ?f=xy%5E%7B2%7Dz%5E%7B2%7D+$
P(2, −1, 4);
a = i + 2 j − 3k

Acho que a resposta é: $Derivada Direcional ?f=16+%5Csqrt%7B14%7D+$ , mas todo vez que eu tento, não consigo chegar nessa resposta :S

por **mauk03** Ter 26 maio 2015, 10:46

A derivada direcional de uma função f(x,y,z) no ponto P(xp, yp, zp) e na direção de um vetor v é dada por:
∂f(xp, yp, zp)/∂u = ∇f(xp, yp, zp)•u
onde u é versor de v (vetor unitário na direção de v) e ∇f(xp, yp, zp) o gradiente de f no ponto (xp, yp, zp).

Nesse caso:
u = a/||a|| = (1, 2, -3)/√(1² + 2² + (-3)²) = (1, 2, -3)/√14 = (1/√14, 2/√14, -3/√14)
(xp, yp, zp) = (2, -1, 4)
∇f(x,y,z) = (∂f(x,y,z)/∂x, ∂f(x,y,z)/∂y, ∂f(x,y,z)/∂z) = (y²z², 2xyz², 2xy²z)
.:. ∇f(2, -1, 4) = (16, -64, 16)

Assim:
∂f(2, -1, 4)/∂u = (4, -64, 16)•(1/√14, 2/√14, -3/√14) = 16/√14 - 128/√14 - 48/√14 = -160/√14

Certeza que a resposta é 16√14?

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