numero binomial
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numero binomial
por referreira Qui 23 Set 2010, 20:16
Denote por C(n,k) o número binomial. Calcule o valor da soma:
C(n,0) + 2C(n,1) + 2^2 C(n,2) + .... +2^n C(n,n) em função de n.
C(n,0) + 2C(n,1) + 2^2 C(n,2) + .... +2^n C(n,n) em função de n.
referreira- Padawan
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Re: numero binomial
por Euclides Sex 24 Set 2010, 14:32
Consegui dar apenas uns passos
+2^1C\left ( ^n_1 \right )+2^2C\left ( ^n_2 \right )+...+2^{n-1}C\left ( ^n_{n-1} \right )+2^nC\left ( ^n_n \right )\\\\m={\color{red} 1}+\frac{2^1{\color{blue} n!}}{{\color{blue} 1!(n-1)!}}+\frac{2^2{\color{green} n!}}{{\color{green} 2!(n-2)!}}+...+\frac{2^{n-2}{\color{green} n!}}{{\color{green} (n-2)!(2)!}}+\frac{2^{n-1}{\color{blue} n!}}{{\color{blue} (n-1)!(1)!}}+\frac{2^n{\color{red} n!}}{{\color{red} n!(0)!}}\\\\\\m=1+2^n+n!\left (\frac{2+2^2(n-1)+2^3(n-2)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}}{(n-1)!} \right ) "\\m=2^0C\left ( ^n_0 \right )+2^1C\left ( ^n_1 \right )+2^2C\left ( ^n_2 \right )+...+2^{n-1}C\left ( ^n_{n-1} \right )+2^nC\left ( ^n_n \right )\\\\m={\color{red} 1}+\frac{2^1{\color{blue} n!}}{{\color{blue} 1!(n-1)!}}+\frac{2^2{\color{green} n!}}{{\color{green} 2!(n-2)!}}+...+\frac{2^{n-2}{\color{green} n!}}{{\color{green} (n-2)!(2)!}}+\frac{2^{n-1}{\color{blue} n!}}{{\color{blue} (n-1)!(1)!}}+\frac{2^n{\color{red} n!}}{{\color{red} n!(0)!}}\\\\\\m=1+2^n+n!\left (\frac{2+2^2(n-1)+2^3(n-2)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}}{(n-1)!} \right )")
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