Prova de polinômio com função contínua
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Prova de polinômio com função contínua
por pertinax Sáb 16 maio 2015, 16:04
Boa tarde pessoal, gostaria que me ajudassem com mais uma prova. Dessa vez eu conheço a resposta, mas não como é pedido pela lista. Aqui é pedido o seguinte:
"Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real. Generalize este resultado para todo
polinômio de grau ímpar."
Eu conheço a teoria sobre as raízes complexas e reais aos pares, mas no caso, eu preciso provar isso usando os teoremas de função contínua e limites, quem puder me ajudar, agradeço muito
"Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real. Generalize este resultado para todo
polinômio de grau ímpar."
Eu conheço a teoria sobre as raízes complexas e reais aos pares, mas no caso, eu preciso provar isso usando os teoremas de função contínua e limites, quem puder me ajudar, agradeço muito
pertinax- Padawan
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Re: Prova de polinômio com função contínua
por mauk03 Sáb 16 maio 2015, 18:31
A demonstração dessa é bem parecida com a da pergunta anterior feita por vc da qual eu respondi (essa: https://pir2.forumeiros.com/t89062-prova-de-existenciafuncao-e-limite-infinito), na verdade a demonstração da anterior é parte da demonstração dessa.
Basta observar que os limites da função f(x) = ax³ + bx² + cx + d para x tendendo a menos infinito e mais infinito tem valores de sinais opostos, ou seja, existem x1 e x2 no domínio de f tais que f(x1)<0 e f(x2)>0, logo, pelo teorema de Bolzano, concluímos que necessariamente existe um x* no domínio de f tal que f(x*) = 0.
Basta observar que os limites da função f(x) = ax³ + bx² + cx + d para x tendendo a menos infinito e mais infinito tem valores de sinais opostos, ou seja, existem x1 e x2 no domínio de f tais que f(x1)<0 e f(x2)>0, logo, pelo teorema de Bolzano, concluímos que necessariamente existe um x* no domínio de f tal que f(x*) = 0.
mauk03- Fera
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