Questão envolvendo MMC

Olá,
Recentemente me deparei com uma questão, com a qual nunca tinha feito nenhuma questão sobre o assunto...Abaixo segue a questão:
Achar dois números sabendo que: a diferença dos quadrados desses dois números é 11776 e o mínimo múltiplo comum é 1860.
Quais são esses números?
A minha dúvida é como envolver o conceito de mmc para resolver a questão.
Grato pela ajuda!

mpmoita escreveu:Olá,
Recentemente me deparei com uma questão, com a qual nunca tinha feito nenhuma questão sobre o assunto...Abaixo segue a questão:
Achar dois números sabendo que: a diferença dos quadrados desses dois números é 11776 e o mínimo múltiplo comum é 1860.
Quais são esses números?
A minha dúvida é como envolver o conceito de mmc para resolver a questão.
Grato pela ajuda!

Boa tarde!

x = um dos números
y = o outro número
D = mdc(x,y)
M = mmc(x,y)

Sim, amigo, é possível envolver o "mmc" dos dois números numa questão como esta.
Senão, vejamos:

x/D = p → x = p.D
y/D = q → y = q.D

Como sabemos, o produto de dois números é igual ao produto de seus respectivos mmc e mdc:

xy = M.D
(p.D)(q.D) = M.D
p.q.D² = M.D
M = p.q.D²/D
M = p.q.D

x² - y² = (p.D)² - (q.D)² = p².D² - q².D² = (p² - q²).D²

x² - y² = (p+q)(p-q).D² = 11776 .... (i) → 11776 = 2⁹.23
...... M = p.q.D .......... = 1860 ...... (ii) → 1860 = 2².3.5.31

Dividindo (i) por (ii), obtemos:
(p+q)(p-q).D²/p.q.D = 11776/1860 = 2⁹.23/2².3.5.31

Simplificando fica:
(p+q)(p-q).D/p.q = 2⁷.23/3.5.31

Como 2⁷.23 e 3.5.31 são primos entre si, também "(p+q)(p-q).D" e "p.q" o devem ser!
De modo que "p.q" deve corresponder a "3.5.31", ou seja:
p.q = 465 .................... (iii)

Substituindo, em (ii), "p.q" por 465, vem:
p.q.D = 1860
465.D = 1860
D = 1860/465
D=4

Prosseguimos fazendo D=4 em (i), fica:
(p+q)(p-q).D² = 11776
(p+q)(p-q).4² = 11776
(p+q)(p-q).16 = 11776
(p+q)(p-q) = 11776/16
(p+q)(p-q) = 736
p² - q² = 736 .................... (iv)

De (iii) obtemos:
p.q = 465
q= 465/p .......................... (v)

Aplicando-se (v) em (iv), obtemos:

p² - q² = 736
p² - (465/p)² = 736
p² - (465)²/p² = 736
p² - 216225/p² = 736 → colocando tudo sobre denominador "p²", vem:
p⁴ - 216225 = 736.p²
p⁴ - 736.p² - 216225 = 0 → resolvendo esta equação biquadrada, teremos:
Δ = (-736)² - 4.(-216225) = 541696 + 864900 = 1406596
√Δ = √1406596 = ±1186

p² = (736±1186)/2
p²(1) = (736+1186)/2 = 1922/2 = 961
p²(2) = (736-1186)/2 = -450/2 = -225 → raiz inadequada (p² não pode ser negativo)

p² = 961
p = √961
p = 31

q = 465/p
q = 465/31
q = 15

Temos então, reunidos, os elementos necessários para a conclusão final:
p = 31
q = 15
D = 4

x = p.D = 31.4 = 124
y = q.D = 15.4 = 60

Solução: Os números são 124 e 60.




Um abraço.