AJUDA Inequação Modular

por leco1398 Dom maio 10 2015, 09:56

No gabarito dessa inequação tem duas soluções, como faço para encontrá-las? ||x+3|-13|≤ 5

por **Carlos Adir** Dom maio 10 2015, 10:14

$\\ \mathrm{||x+3|-13|\le 5} \\ \mathrm{-5 \le |x+3|-13 \le 5} \\ \mathrm{8 \le {\color{Red} |x+3| \le 18}} \\ \mathrm{{\color{Blue} 8 \le |x+3|} \le 18} \\ \mathrm{{\color{Red} -18 \le x+3 \le 18 \Rightarrow -21 \le x \le 15}} \\ \mathrm{{\color{Blue} 8 \le |x+3| \Rightarrow }} {\color{Blue} \begin{cases}\mathrm{x + 3 \le -8} \\ \mathrm{x +3 \ge 8} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x \le -11} \\ \mathrm{x \ge 5} \end{cases}}$
Assim, juntando os dois:
$\begin{cases}{\color{Red} \mathrm{-21 \le x \le 15}} \\ \mathrm{{\color{Blue} x \le -11 \ ou \ x \ge 5}} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\mathrm{-21 \le x \le -11} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{5 \le x \le 15} \end{cases}$
A solução é portanto:
$\mathrm{x \in \left[-21, \ -11 \right ]\cup \left[5, \ 15 \right ]}$

por leco1398 Dom maio 10 2015, 10:18

Carlos, obrigado pela resposta novamente! Mas pq eu tenho que juntar as soluções?

por **Carlos Adir** Dom maio 10 2015, 10:41

Vamos falar das linhas vermelhas primeiramente.
Para satisfazer o vermelho, é necessário que -21≤x≤15
Até aqui tudo bem.

Para satisfazer o azul, é necessário que x≤-11 ou 5≤x

Contudo, temos que o resultado deve fazer os dois ao mesmo tempo. Se pegarmos x=0, veremos que:
$||0+3|-13|=10$
Ou seja, 10 é maior que 5, mas queremos apenas os que satisfazem a condição.

Agora, se pegarmos por exemplo 16, verá que não satisfazerá o vermelho, mas satisfazerá o azul:
$||16+3|-13|=6$
E novamente deu problema pois queremos que o resultado seja menor (ou igual) a 5.

Ou seja, a resposta final deve satisfazer, tanto o vermelho quanto o azul. Por isto juntamos os resultados encontrados separadamente.

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