Limite fundamental

por ViniciusAlmeida12 4/5/2015, 10:29 pm

$Limite fundamental Gif$

Não sei como fatorar a função pra chegar em uma que eu possa aplicar o limite fundamental lim x tendendo a +/- infinito de (1+1/x)^x = e

por **Carlos Adir** 4/5/2015, 11:10 pm

Sei resolver por L'Hospital:
$\\ \mathrm{\lim_{x \to + \infty}\left(1+\dfrac{2}{x} \right )^{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x} \right )^{x} \cdot \left(1+\dfrac{2}{x} \right )=\lim_{x \to +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x} \right )^x=} \\ \mathrm{=\lim_{x \to +\infty}e^{\ln \left[1+\frac{2}{x} \right ]^x} = \lim_{x \to +\infty}e^{x \cdot \ln \left(1+\frac{2}{x} \right )} =\lim_{x \to +\infty}e^{\dfrac{\ln\left(1+\frac{2}{x} \right )}{\left(\frac{1}{x} \right )}} \Rightarrow L'Hospital} \\ \mathrm{=\lim_{x \to +\infty} e^{\dfrac{-2}{x^2} \cdot \dfrac{x+2}{x} \cdot \dfrac{x^2}{-1} }=\lim_{x \to +\infty}e^{2\left(\frac{x+2}{x} \right )}=e^2}$

por PedroCunha 4/5/2015, 11:30 pm

Olá, amigos.

Fazendo a substituição \\ \frac{2}{x} = n \Leftrightarrow x = \frac{2}{n} .

Podemos reescrever o limite como:

\\ \lim_{n \to 0} \left( 1 + n\right)^\frac{2}{n} \cdot \lim_{n \to 0} \left(1 + n \right) = \lim_{n \to 0} \left[(1+n)^\frac{1}{n} \right]^2 = e^2

Att.,
Pedro