Calcular o limite

por **Carlos Adir** Dom 03 maio 2015, 17:06

sex? lol

$\\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+sen \ x}-\sqrt{1-sen \ x}}{2^{3x}-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{(1+sen \ x)-(1-sen \ x)}{\left(2^{3x}-1 \right )\left(\sqrt{1+sen \ x}+\sqrt{1-sen \ x} \right )}= \\ = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot sen \ x}{2^{3x}-1}\cdot \lim_{x \to 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{1+sen \ x}+\sqrt{1-sen \ x}}= \lim_{x \to 0} \dfrac{sen \ x}{2^{3x}-1}= \\ = \lim_{x \to 0} \dfrac{sen \ x }{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2^{3x}-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^{3x}-1}$

Ou seja, o limite vira:
$\\ =\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^{3x}-1}=\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{(2^x-1)(2^{2x}+2^{x}+1)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^x-1} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2^{2x}+2^x+1}= \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^x-1}$

Infelizmente agora não sei como resolver esse limite sem derivadas. Deste modo, aqui aplicarei L'Hospital:
$\dfrac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^x-1}\Rightarrow L'Hospital \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2^x \cdot {\color{Red} \ln 2}}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{{\color{Red} \ln 2}}=\dfrac{1}{3 \cdot {\color{Red} \ln 2}}$

Ou seja, a resposta é
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+sen \ x}-\sqrt{1-sen \ x}}{2^{3x}-1}=\dfrac{1}{3 \cdot {\color{Red} \ln 2}}$

por Carwyn Dom 03 maio 2015, 17:18

Carlos Adir escreveu:sex? lol

Ops hahaha, foi mal.

Na lista de exercícios que estou usando a resposta está como 1/3ln(2), e está antes do conteúdo de derivadas, então acho que devo fatorar mas já tentei de várias maneiras e não consegui.

por **Carlos Adir** Dom 03 maio 2015, 17:22

Sim, derivei errado haha. Acostumado a usar euler, acabei esquecendo do Ln da base:
$\dfrac{\partial}{\partial x}(2^x-1)=2^x \cdot \ln 2$
Então:
$\\ \dfrac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{2^x-1}\Rightarrow L'Hospital \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2^x \cdot \ln 2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{ \ln 2}=\dfrac{1}{3 \cdot \ln 2} \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+sen \ x}-\sqrt{1-sen \ x}}{2^{3x}-1}=\dfrac{1}{3 \cdot \ln 2}$

por PedroCunha Dom 03 maio 2015, 18:02

Olá, amigos.

Notem que podemos reescrever \\ \lim_{x \to 0} \frac{x}{2^x-1} , como \\ \lim_{x \to 0 } 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2^x-1}{x}} = \frac{1}{\ln 2}

Att.,
Pedro

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