Volume por revolução

por Kingflare Sex 24 Abr 2015, 23:32

Galera, boa noite, tenho os seguinte exercício: calcule o volume do sólido por revolução limitado pelas seguintes curvas: y=x^2-2x, y=4-x^2 e a rotação é feita na reta y=4. Nesse caso, como poderia resolver? Eu sei que preciso fazer (x^2-2-x-4)^2 - (4-4+x^2)^2, mas eu não entendi o porque que a função (x^2-2x-4)^2 é diminuída de (4-4+x^2)^2, porque não diminuir
(4-4+x^2)^2-(x^2-2x-4)^2? Desde já, agradeço que puder me esclarecer essa dúvida =).ABraços!

por **mauk03** Sáb 25 Abr 2015, 09:34

Como essa região será rotacionada em torno da reta y = 4, então teremos de usar as curvas com uma translação y' = y + 4 para o cálculo do volume em torno da reta y = 0, ou seja as curvas y = x² - 2x - 4 e y = -x². Portanto, a região a ser rotacionada é:

Intersecções de y = x² - 2x - 4 com y = -x²:

x² - 2x - 4 = -x² → 2x² - 2x - 4 = 0 → x² - x - 2 = 0 → x = 2 e x = -1

Assim:

$V=\int_{-1}^{2}\pi ((x^{2}-2x-4)^{2}-(-x^{2})^{2})dx=\int_{-1}^{2}\pi (-4x^{3}-4x^{2}+16x+16)dx$ $=\pi \left [ -x^{4}-\frac{4x^{3}}{3}+8x^{2}+16x \right ]_{-1}^{2}=45\pi$

por **mauk03** Sáb 25 Abr 2015, 09:41

A função y = -x² é subtraída de y = x² - 2x - 4 (e não o contrario) pois a região se encontra abaixo do eixo y, logo a curva cujas imagens, no intervalo [-1, 2], possuem menor valor absoluto é subtraída da outra. Caso contrario o volume seria negativo.