Ortocentro e Equação da curva

(IME) Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma reta r. O  vértice C desloca-se ao longo de uma reta s, paralela a r e a uma distância h da mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo ABC.

Desenhe as duas retas (r em baixo e s em cima) distantes h uma da outra.

Desenhe na reta r os pontos A e B e o seu ponto médio O ---> AO = BO = AB/2

Por A, O e B trace perpendiculares a s nos pontos A' O' e B'

Seja um sistema xOy com origem em O e AB no eixo x

Note agora que quando C coincide com A' e B' os triângulos CBA e CAB são retângulos. Num triângulo retângulo o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto, logo:

1) Quando C está sobre B'(+AB/2, h) o ortocentro é B
2) Quando C está sobre A'(-AB/2, h) o ortocentro é A

Quando C coincide com O' o triângulo O'AB é isósceles. Calcule a posição do ortocentro dele P(0, yP), em função de h ---> yP = f(h) ---> Acho que dá yP = AB²/4.h (confira as contas)

Com isto já temos 3 pontos por onde passa a curva: A, B e P

A curva é uma parábola y = ax² + bx + c com a concavidade voltada para baixo (a < 0), simétrica em relação ao eixo y (b = 0) e passando por P(0, yp)

y = ax² + c ---> yP = a.0² + c ---> c = yP

(± AB/2, 0) ---> 0 = a.(±AB/2)² + yP ---> 0 = a.AB²/4 + yP ---> a = - 4.yP/AB² 


y = - (4.yP/AB²).x² + yP