Combinações III

Dados n pontos de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são:
a) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esses pontos?
b) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?
c) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?
d) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos?
e) no máximo, os pontos de interseção das retas formadas por esses pontos, excluindo-se
desse número os n pontos dados?

Resposta:

Tá, qual você não conseguiu?

Eu não consegui a letra C,D e E. Voce poderia me ajudar? Valeu!!

c) Para formar um quadrilátero, basta escolher 4 pontos C(n,4). Porém, com 4 pontos é possível fazer 3 quadriláteros ---> 3C(n,4).
d) Partindo de um ponto, você deve escolher o próximo, o que pode ser feito de n-1 modos, depois outro, n-2 modos, etc ---> (n-1)!. Porém, cada polígono formado foi contado 2 vezes, porque quando se fecha o polígono, você pode formá-lo de novo fazendo o caminho inverso; isto é:
No 1º a ordem dos vértices foi 1, 2, 3, ..., n, 1
No 2º a ordem dos vértices foi 1, n, n-1, ..., 2, 1
Logo, a resposta é (n-1)!/2.

e) O número de retas formadas é r = C(n,2). O número de intersecções seria C(r,2), pois cada duas retas forma 1 intersecção. Porém, cada um dos n pontos dados foi contado mais de uma vez. Por ex, se por um ponto passam 4 retas, esse mesmo ponto foi contado C(2,4) pois cada vez que pegamos 2 retas que passam por ele, o contamos de novo. Cada ponto é contado C(n-1,2) vezes. Como são n pontos, nC(n-1),2).
Logo, o número de pontos distintos dos n dados é:
C(r,2) - nC(n-1,2), onde r = C(n,2).
Pode ver que bate com o gabarito: wolfram.

Um outro modo de pensar nessa e) seria:
1) Pegue dois pontos quaisquer e fixe uma reta.
2) Há C(n-2,2) retas que intersectam essa reta fixada e não fazem parte dos n pontos dados.
3) Como há C(n-2,2) retas, haveria C(n-2,2)*C(n-2,2) pontos de intersecção que não fazem parte dos n pontos dados. Mas a resposta é C(n-2,2)*C(n-2,2)/2 porque cada ponto foi contado duas vezes: uma quando fixamos a reta p e contamos a intersecção com q e outra quando fixamos q e contamos a intersecção com p.

Mais um modo:
Após essas duas soluções para o item e), lembrei que havia uma solução que dava direto o resultado esperado, mas não lembrava como fazê-la; fui atrás e encontrei:
"Cada ponto de intersecção é proveniente da intersecção de duas retas, as quais foram geradas por 4 dos pontos dados. Cada grupo de 4 pontos dados, A, B, C e D, gera intersecções (AB com CD, AC com BD, AD com BC).
A resposta é 3C(n,4)".

Sem dúvidas essa última é a mais elegante.