FME iezzi questão B38

por vhendala Seg 23 Mar 2015, 22:44

Livro Fundamentos da Matemática Elementar, questão B38:

Mostre que

$\frac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\frac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}$

Resposta: Não tem resposta no livro.

por Smasher Qua 25 Mar 2015, 22:56

Cheguei à resposta, mas achei q o método foi um pouco longo Neutral

, com esperança há uma forma melhor. De qqr jeito, aqui vai uma maneira:

Trabalhamos com radicais duplos aqui (se não lembrar/conhecer pesquise na net) e todo radical da seguinte forma pode ser escrito de outra maneira, veja:

$FME iezzi questão B38 Gif$
A partir dessa fórmula vamos fazer as transformações e então substituir depois na expressão

1) $FME iezzi questão B38 Gif.latex?%5Csqrt%7B7-2%5Csqrt%7B10%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B7-%5Csqrt%7B40%7D%7D%20%3D%20..$
2) $FME iezzi questão B38 Gif.latex?%5Csqrt%7B8+4%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B8+%5Csqrt%7B48%7D%7D%3D..$

3) $FME iezzi questão B38 Gif.latex?%5Csqrt%7B11-2%5Csqrt%7B30%7D%7D%3D..$

*)
$FME iezzi questão B38 Gif$
$FME iezzi questão B38 Gif$

**)
$FME iezzi questão B38 Gif$

As expressões são iguais então está provado.

por **Carlos Adir** Qua 25 Mar 2015, 23:28

Outro modelo de resolução, mas utilizando um pouco da resposta acima também:
$\\ Em \ geral \ temos: \\ \begin{cases}\dfrac{a}{\sqrt{b \pm \sqrt{c}}}=\dfrac{a\sqrt{b \pm \sqrt{c}}}{b \pm \sqrt{c}}=\dfrac{a\sqrt{b \pm \sqrt{c}}\left(b \mp \sqrt{c} \right )}{b^2-c} = \dfrac{a\sqrt{b\mp \sqrt{c}}}{\sqrt{b^2-c}} \\ \sqrt{b \mp \sqrt{c}}=\sqrt{\dfrac{b +\sqrt{b^2-c}}{2}} \mp \sqrt{\dfrac{b-\sqrt{b^2-c}}{2}} \end{cases} \\ {\color{Red} 1)} \ \ \ \dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}=\dfrac{3}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} = \dfrac{3\sqrt{7 + \sqrt{40}}}{\sqrt{7^2-40}} = \sqrt{7+\sqrt{40}}= \\ = \sqrt{\dfrac{7+\sqrt{7^2-40}}{2}} + \sqrt{\dfrac{7-\sqrt{7^2-40}}{2}} = {\color{Red} \sqrt{5}+\sqrt{2}}$
$\\ {\color{Magenta} 2)} \ \ \ \dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{4}{\sqrt{8+\sqrt{48}}} = \dfrac{4 \sqrt{8 - \sqrt{40}}}{\sqrt{8^2-40}} = \sqrt{8-\sqrt{40}}= \\ = \sqrt{\dfrac{8 + \sqrt{8^2-40}}{2}}-\sqrt{\dfrac{8-\sqrt{8^2-40}}{2}}={\color{Magenta} \sqrt{6}- \sqrt{2}} \\ {\color{Blue} 3)} \ \ \ \dfrac{1}{11 -2\sqrt{30}}=\dfrac{1}{11 - \sqrt{120}} = \dfrac{1 \sqrt{11+\sqrt{120}}}{\sqrt{11^2-120}}=\sqrt{11+\sqrt{120}}= \\ = \sqrt{\dfrac{11+\sqrt{11^2 -120}}{2}} + \sqrt{\dfrac{11-\sqrt{11^2-120}}{2}}={\color{Blue} \sqrt{6}+\sqrt{5}}$

Temos então:
$\\ {\color{Red} \sqrt{5}+\sqrt{2}}+{\color{Magenta} \sqrt{6}- \sqrt{2}} ={\color{Blue} \sqrt{6}+\sqrt{5}}$

Logo, a igualdade é verdadeira.

por Conteúdo patrocinado

FME iezzi questão B38

FME iezzi questão B38

Uma maneira é...

Re: FME iezzi questão B38

Re: FME iezzi questão B38

Um fórum livre e democrático.