FME iezzi questão B38
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FME iezzi questão B38
por vhendala Seg 23 Mar 2015, 22:44
Livro Fundamentos da Matemática Elementar, questão B38:
Mostre que
Resposta: Não tem resposta no livro.
Mostre que
Resposta: Não tem resposta no livro.
vhendala- Padawan
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Uma maneira é...
por Smasher Qua 25 Mar 2015, 22:56
Cheguei à resposta, mas achei q o método foi um pouco longo 
, com esperança há uma forma melhor. De qqr jeito, aqui vai uma maneira:
Trabalhamos com radicais duplos aqui (se não lembrar/conhecer pesquise na net) e todo radical da seguinte forma pode ser escrito de outra maneira, veja:
A partir dessa fórmula vamos fazer as transformações e então substituir depois na expressão
1)
2)
3)
*)
**)
As expressões são iguais então está provado.
, com esperança há uma forma melhor. De qqr jeito, aqui vai uma maneira:Trabalhamos com radicais duplos aqui (se não lembrar/conhecer pesquise na net) e todo radical da seguinte forma pode ser escrito de outra maneira, veja:
A partir dessa fórmula vamos fazer as transformações e então substituir depois na expressão
1)
2)
3)
*)
**)
As expressões são iguais então está provado.
Smasher- Mestre Jedi
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Re: FME iezzi questão B38
por Carlos Adir Qua 25 Mar 2015, 23:28
Outro modelo de resolução, mas utilizando um pouco da resposta acima também:
}{b^2-c}&space;=&space;\dfrac{a\sqrt{b\mp&space;\sqrt{c}}}{\sqrt{b^2-c}}&space;\\&space;\sqrt{b&space;\mp&space;\sqrt{c}}=\sqrt{\dfrac{b&space;+\sqrt{b^2-c}}{2}}&space;\mp&space;\sqrt{\dfrac{b-\sqrt{b^2-c}}{2}}&space;\end{cases}&space;\\&space;{\color{Red}&space;1)}&space;\&space;\&space;\&space;\dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}=\dfrac{3}{\sqrt{7&space;-&space;\sqrt{40}}}&space;=&space;\dfrac{3\sqrt{7&space;+&space;\sqrt{40}}}{\sqrt{7^2-40}}&space;=&space;\sqrt{7+\sqrt{40}}=&space;\\&space;=&space;\sqrt{\dfrac{7+\sqrt{7^2-40}}{2}}&space;+&space;\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{7^2-40}}{2}}&space;=&space;{\color{Red}&space;\sqrt{5}+\sqrt{2}} "\\ Em \ geral \ temos: \\ \begin{cases}\dfrac{a}{\sqrt{b \pm \sqrt{c}}}=\dfrac{a\sqrt{b \pm \sqrt{c}}}{b \pm \sqrt{c}}=\dfrac{a\sqrt{b \pm \sqrt{c}}\left(b \mp \sqrt{c} \right )}{b^2-c} = \dfrac{a\sqrt{b\mp \sqrt{c}}}{\sqrt{b^2-c}} \\ \sqrt{b \mp \sqrt{c}}=\sqrt{\dfrac{b +\sqrt{b^2-c}}{2}} \mp \sqrt{\dfrac{b-\sqrt{b^2-c}}{2}} \end{cases} \\ {\color{Red} 1)} \ \ \ \dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}=\dfrac{3}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} = \dfrac{3\sqrt{7 + \sqrt{40}}}{\sqrt{7^2-40}} = \sqrt{7+\sqrt{40}}= \\ = \sqrt{\dfrac{7+\sqrt{7^2-40}}{2}} + \sqrt{\dfrac{7-\sqrt{7^2-40}}{2}} = {\color{Red} \sqrt{5}+\sqrt{2}}")
}&space;\&space;\&space;\&space;\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{4}{\sqrt{8+\sqrt{48}}}&space;=&space;\dfrac{4&space;\sqrt{8&space;-&space;\sqrt{40}}}{\sqrt{8^2-40}}&space;=&space;\sqrt{8-\sqrt{40}}=&space;\\&space;=&space;\sqrt{\dfrac{8&space;+&space;\sqrt{8^2-40}}{2}}-\sqrt{\dfrac{8-\sqrt{8^2-40}}{2}}={\color{Magenta}&space;\sqrt{6}-&space;\sqrt{2}}&space;\\&space;{\color{Blue}&space;3)}&space;\&space;\&space;\&space;\dfrac{1}{11&space;-2\sqrt{30}}=\dfrac{1}{11&space;-&space;\sqrt{120}}&space;=&space;\dfrac{1&space;\sqrt{11+\sqrt{120}}}{\sqrt{11^2-120}}=\sqrt{11+\sqrt{120}}=&space;\\&space;=&space;\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{11^2&space;-120}}{2}}&space;+&space;\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{11^2-120}}{2}}={\color{Blue}&space;\sqrt{6}+\sqrt{5}} "\\ {\color{Magenta} 2)} \ \ \ \dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{4}{\sqrt{8+\sqrt{48}}} = \dfrac{4 \sqrt{8 - \sqrt{40}}}{\sqrt{8^2-40}} = \sqrt{8-\sqrt{40}}= \\ = \sqrt{\dfrac{8 + \sqrt{8^2-40}}{2}}-\sqrt{\dfrac{8-\sqrt{8^2-40}}{2}}={\color{Magenta} \sqrt{6}- \sqrt{2}} \\ {\color{Blue} 3)} \ \ \ \dfrac{1}{11 -2\sqrt{30}}=\dfrac{1}{11 - \sqrt{120}} = \dfrac{1 \sqrt{11+\sqrt{120}}}{\sqrt{11^2-120}}=\sqrt{11+\sqrt{120}}= \\ = \sqrt{\dfrac{11+\sqrt{11^2 -120}}{2}} + \sqrt{\dfrac{11-\sqrt{11^2-120}}{2}}={\color{Blue} \sqrt{6}+\sqrt{5}}")
Temos então:
Logo, a igualdade é verdadeira.
Temos então:
Logo, a igualdade é verdadeira.
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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