Fluxo elétrico, lei de gauss

Uma carga puntiforme +q está a uma distância d/2 diretamente 
acima de um quadrado de lado d, como na Fig. 1. Qual é o fluxo do campo 
elétrico através do quadrado? 

Tem uma solução usando ângulo sólido, mas eu vou fazer sem usar.

Desenhe uma gaussiana esférica com centro na carga e tocando os vértices do quadrado.

Calcule o raio da esfera por pitágoras:
R^2=(d/2)^2+(d*(raiz de 2)/2)^2 = 3*d^2/4 ---> R=d*(raiz de 3/2)

Calcule a área da calota definida pelo quadrado na esfera:
Acal=2*pi*h*R, onde h é a altura da calota.
h=R-(d/2)=(d/2)*((raiz de 3) -1)


Sabemos que o fluxo que passa pela esfera é o fluxo total (Q/epsilon pela lei de gauss). Queremos o fluxo que passa pelo quadrado, consequentemente passando pela calota. Logo,


Substituindo a área da calota e a área total (4 * pi * R^2):

Logo,


Se eu não tiver errado nenhuma conta é isso
Avisa se não entender