(EUA) Função e divisibilidade

por Alchenooba Ter 17 Mar 2015, 17:05

Se f(x) = x² + 3x +2 e A = {1, 2, 3, ......., 1993}, para quantos elementos x, pertencentes ao conjunto A, f{x} é divisível por 6?

Resposta:1329

por **Carl Sagan** Ter 17 Mar 2015, 20:31

Testando a função para os valores iniciais de x:
$f(x)=x^{2}+3x+2\\ f(1)=1^{2}+3 \cdot 1+2=6\\ f(2)=2^{2}+3 \cdot 2+2=12\\ f(3)=3^{2}+3 \cdot 3+2=20 \Rightarrow\text{ n\~ao \'e divis\'ivel por 6 }\\ f(4)=4^{2}+3 \cdot 4+2=30\\ f(5)=5^{2}+3 \cdot 5+2=42\\ f(6)=6^{2}+3 \cdot 6+2=56 \Rightarrow \text{ n\~ao \'e divis\'ivel por 6 }\\ ...$

Percebe-se que toda vez que x é múltiplo de 3, a função não é divisível por 6.
Verificando (prova):
$f(x)=(3k)^2+3 \cdot (3k)+2\\ f(x)=9k^{2}+9k+2=9 \times (k^2+k)+2=(3^{2} \times (k^2+k))+2\\$

Para ser divisível por 6, é necessário ser divisível por 2 e 3. O termo $(3^{2} \times (k^2+k))$ é múltiplo de 3, por causa do termo $3^2$ , e é divisível por 2, já que $(k^2+k)$ é sempre par, pois, se k for ímpar, k^2 também será impar, logo ímpar (k^2) + ímpar (k) = par. No caso de k ser par o mesmo ocorre (k^2 par + k par = par). Como é divisível por 2 e 3, também o é por 6. Entretanto ao somar 2, o termo deixa de ser divisível por 6.

Então, basta eliminar os múltiplos de 3:
Com a fórmula da P.A, encontramos quantos múltiplos de 3 existem entre 1 e 1993.
$1992=3+(n-1) \times 3\\ 1992=3+3n-3\\ 3n=1992\\ n=664\\$

Logo, a quantidade de elementos de x para qual f(x) é divisível por 6 é:
$1993-664=\boxed{1329}$

Acho que é isto.