Fatoração e algebrismo

por nandofab Ter 17 Mar 2015, 10:17

Se a,b e c são racionais, prove que $\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ é quadrado de um racional

por Luck Qua 18 Mar 2015, 01:20

Considere o polinômio x³ + px +q = 0 , de raízes a-b, b-c e c-a.
Por polinômios simétricos, temos :
S[0] = 3 ; a[1] = S[1] = 0 ; a[2] = p ; a[3] = -q
S[2] = a1² - 2a2 = -2p
(a-b)^(-2) + (b-c)^(-2) + (c-a)^(-2) = S[-2] = ?

S[n] = a[1]S[n-1] - a[2]S[n-2] + a3S[n-3]
S[2] = a[1]S[1] - a[2]S[0] + a3S[-1]
-2p = 0 - 3p + (-qS[-1])
S[-1] = -p/q

S[1] = a[1]S[0] - a[2]S[-1] + a3S[-2]
0 = 0 - p(-p/q) + (-qS[-2])
S[-2] = p²/q²
S[-2] = (p/q)² , c.q.d.