Minimizar

por majik Sáb 14 Mar 2015, 21:01

Sejam A,B,C ângulos de um triângulo.

Encontrar o valor mínimo de: (Cos^2A+1)(Cos^2B+1)(Cos^2C+1)

por **Carlos Adir** Sáb 14 Mar 2015, 21:38

$\left(cos^2 \ \alpha + 1 \right )\left(cos^2 \ \beta+1 \right )\left(cos^2 \ \omega +1 \right )$

Tomando na desigualdade das médias:
$\left(\dfrac{\left(cos^2 \ \alpha +1\right )+\left(cos^2 \ \beta +1 \right ) + \left(cos \ \omega +1 \right )}{3} \right )^3 \ge \left(cos^2 \ \alpha + 1 \right )\left(cos^2 \ \beta +1\right )\left(cos^2 \ \omega +1 \right )$
E a igualdade vale somente quando todos os cossenos valem iguais, então:
$\\ \left(\dfrac{\left(cos^2 \ \alpha +1\right )+\left(cos^2 \ \beta +1 \right ) + \left(cos \ \omega +1 \right )}{3} \right )^3 = \left(cos^2 \ \alpha + 1 \right )\left(cos^2 \ \beta +1\right )\left(cos^2 \ \omega +1 \right ) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow cos^2 \ \alpha =cos^2 \ \beta = cos^2 \ \omega \Rightarrow \alpha =\beta = \omega = 60^o$

Substituindo, temos que:
$\\ V=\left(1+cos^2 \ \alpha \right )\left(1+cos^2 \ \beta \right )\left(1+cos^2 \ \omega \right )=\left(1 + cos^2 \ 60^o \right )\left(1+cos^2 \ 60^o \right )\left(1+cos^2 \ 60^o \right )= \\V=\left(1+cos^2 \ 60^o \right )^3 = \left(1+\left(\dfrac{1}{2} \right )^2 \right )^3=\left(1+\dfrac{1}{4} \right )^3 = \left(\dfrac{5}{4} \right )^3=\dfrac{5^3}{4^3}=\dfrac{125}{64}$

O valor mínimo é então 125/64 = 1,953125

por majik Dom 15 Mar 2015, 18:58

E a igualdade vale somente quando todos os cossenos valem iguais, então:
$\\ \left(\dfrac{\left(cos^2 \ \alpha +1\right )+\left(cos^2 \ \beta +1 \right ) + \left(cos \ \omega +1 \right )}{3} \right )^3 = \left(cos^2 \ \alpha + 1 \right )\left(cos^2 \ \beta +1\right )\left(cos^2 \ \omega +1 \right ) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow cos^2 \ \alpha =cos^2 \ \beta = cos^2 \ \omega \Rightarrow \alpha =\beta = \omega = 60^o$

Eu não entendo porque você assume directamente que a igualdade ocorre...............