verificando o subconjunto

Verifique se o subconjunto w={(x,y,z) ∈ R³ ; x= √ de Z    é um subespaço do R³, justificando sua resposta.

Vamos verificar aquelas propriedades que vinhamos fazendo nos exercícios anteriores:

i) (x,y,z)∈R³ é da forma (√z,y,z), então vamos ver se o zero está nesse conjunto.

Logo vemos que (0,0,0) está.

ii) Dados u,v∈R³, vamos verificar se a soma u+v continuará em W.

Assim, u=(√z,y,z) e v=(√z',y',z') => u+v = (√z + √z',y + y', z + z')

Como W é tal que x=√z, então quem será o nosso termo "x" da soma? Será justamente "x" = √z + √z', por outro lado esse "x" tem que ser "x" = √(z+z')
Então logo vemos que isso não é satisfeito, pois  √(z+z') ≠ √z + √z'

Logo, como a soma não está satisfazendo a condição de W, então a soma não está contida no W. Portanto, podemos afirmar que W não é subespaço de R³.