Paridade e Periodicidade

por **Fito42** Seg 09 Mar 2015, 19:41

Qual a paridade e a periodicidade da função:

f(x) = sen(pi*x) + cos (3*pi*x) ?

por **Carl Sagan** Qua 11 Mar 2015, 13:44

●Teorema:
$p_1 \rightarrow \text{Periodo da funcao 1}\\ p_2 \rightarrow \text{Periodo da funcao 2}\\ P \rightarrow \text{Periodo da soma das funcoes 1 e 2}\\\\ \boxed{\frac{p_1}{p_2}=\frac{m}{n}} \Rightarrow P=n \cdot p_1=m \cdot p_2\\$

Periodicidade:
$p_1=\frac{2 \pi}{\pi}\\ p_2=\frac{2 \pi}{3 \pi}\\\\ \frac{p_1}{p_2}=3\\\\ P=p_1=3 \cdot p_2=\boxed{2}\\$

Paridade:
Propriedades:
• Na Soma de duas funções de mesma paridade, a paridade é mantida.
• A soma de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar, a não ser que uma delas seja igual a zero em seu domínio.

Como a função seno é ímpar e a função cosseno par, a soma não é par nem ímpar.

por **Fito42** Qua 11 Mar 2015, 22:06

Entendi a parte da periodicidade, mas por quê a soma de qualquer função por uma ímpar tem como resultado uma função cuja paridade também é ímpar?
Vlw!

por **Carl Sagan** Qui 12 Mar 2015, 13:30

Desculpe, correção: "A soma de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar, a não ser que uma delas seja igual a zero em seu domínio". http://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions
Não encontrei nenhuma demonstração desta propriedade (só fazendo o gráfico), mas vou deixar a demonstração da primeira propriedade:

$\text{f(x) e g(x) pares}:\\ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+x)(x)\\\\ \text{f(x) e g(x) impares}:\\ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x) - g(x)=-(f+g)(x)\\$

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