Periodicidade

por lalass Qui 20 Set 2012, 21:59

Mostre que os números 49, 4489, 444889, 44448889, ..., obtidos colocando-se 48 no meio do número anterior, são quadrados de números inteiros.

por **Carlos Adir** Dom 25 Jan 2015, 22:47

Resolução retirada daqui: domingo_regado.pdf
$\\ 49 = 4\cdot 1 \cdot 10^1 + 8 \cdot 1 + 1 \\ 4489 = 4 \cdot 11 \cdot 10^2+8 \cdot 11 + 1 \\ 444889=4 \cdot 111 \cdot 10^3 +8\cdot 111 +1$
De modo geral temos:
$\\ N=\underbrace{444\cdots 4}_{n}\underbrace{88\cdots89}_{n-1}= 4 \cdot \underbrace{111\cdots 1}_{n}\cdot 10^n+8 \cdot \underbrace{111\cdots 1}_{n}+1 \\ N=4 \cdot \left(\dfrac{10^n-1}{9} \right ) \cdot 10^n + 8 \cdot \left(\dfrac{10^n-1}{9} \right ) +1 \\ N=\dfrac{4}{9} \cdot 10^{2n}+\dfrac{4 \cdot 10^n}{9}+\dfrac{1}{9} \\ N=\left(\dfrac{2\cdot 10^{n}}{3} \right )^2 + 2 \cdot \left(\dfrac{2\cdot 10^n}{3} \right )\cdot \left(\dfrac{1}{3} \right )+\left(\dfrac{1}{3} \right )^2 \\ N=\left(\dfrac{2 \cdot 10^n+1}{3} \right )^2$

Segue que
$\\ 2 \equiv 2 \pmod 3 \\ 2 \cdot 10 \ \equiv 2 \pmod 3 \\ 2 \cdot 10^n \equiv 2 \pmod 3 \\ 2 \cdot 10^n +1\equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$
Logo, tem-se que que o número no interior do parênteses é um inteiro.
Logo, N é o quadrado de um número inteiro.

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