raízes da equação

por RodrigoCN Seg 23 Fev 2015, 01:26

Determine as raízes reais da equação $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = 3$

Spoiler: $\frac{1+- \sqrt{5}}{2}$

por Convidado Seg 23 Fev 2015, 03:37

Tem uma fatoração muito difícil aí...

$\\x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3\;\;\;\;\to\;\;\;\;x^4+2x^3-x^2-6x-3=0\\\\x^4+2x^3-x^2-6x-3=(x^2-x-1)(x^2+3x+3)\\\\(x^2-x-1)(x^2+3x+3)=0$

$x^2+3x+3=0\;\;\text{(n\~ao tem ra\'izes reais)}$

por RodrigoCN Seg 23 Fev 2015, 11:48

Olá Caio

Como você fatorou essa expressão?

por **Elcioschin** Seg 23 Fev 2015, 13:11

Use o Método dos Coeficientes a Determinar:

x⁴ + 2x³ - x² - 6x - 3 = (x² + ax - 1).(x² + bx + 3)

x⁴ + 2x³ - x² - 6x - 3 = x⁴ + (a + b).x³ + (2 + ab).x² + (3a - b).x - 3

a + b = 2

2 + ab = - 1

3a - b = - 6

Basta resolver o sistema e calcular a, b

por Convidado Seg 23 Fev 2015, 13:29

Eu fatorei meio na força bruta mesmo. Considerando que não podia ser uma equação do quarto grau não bi-quadrada e não fatorável, tinha de ser fatorável.

Então era algo como

(x²+...+...)(x²+...+...)

como o termo independente era -3 eu fiz

(x²+...-1)(x²+...+3)

e aí não ficou difícil de ver que para completar

(x²-x-1)(x²+3x+3)