Permutação 3

Sabendo que cada anagrama da palavra PIRACICABA é uma ordenação das letras P, I, R, A, C, I, C, A, B, A, quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas?

3 A ---> 2 C ---> 2 I

Total de anagramas = 10!/3!.2!.2! = 151 200

Anagramas com 3 A juntos ---> 7!/2!.2! = 1 260 (obrigatoriamente tem 2 A juntos)

Anagramas com 2 A juntos:

1) Com 2 A nas extremidades esquerda e direita ---> 7 posições para o 3º A, --->

Sobram 7 casas para serem ocupadas ---> 2.7.7!/2!.2! = 17 640

2) Com 2 A no meio restam 6 posições para o 3º A ---> 6.7!/2|.2! = 7 560

x = 151 200 - 1260 - 17640 - 7 560 ---> x = 124 740

Por favor confira as contas

Segundo o gabarito, a resposta correta é 70.560

(i) Total de anagramas = 10!/(3!.2!.2!) = 151 200

(ii) AA + 8 letras: 9!/(2!.2!) = 90 720

(iii) AAA + 7 letras: 8!/(2!.2!) = 10 080

Note que os anagramas de (iii) estão inseridos duas vezes em (ii), pois não há distinção entre os anagramas que possuem o bloco AAA e os que possuem o bloco AAA. Logo, o que seria a subtração de (i) por (ii) e (iii), se transforma em: (i) + (iii) - (ii), ie

151 200 + 10 080 - 90 720 = 70 560

É possível solucionar essa questão utilizando o 1° Lema de Kaplansky?

Victor Luz escreveu:É possível solucionar essa questão utilizando o 1° Lema de Kaplansky?

Após algumas tentativas, consegui solucionar, deixo abaixo minha resolução.

 1° lema de Kaplansky:

Primeiro, vamos colocar a letra A de maneira que não fiquem juntas. Pra isso, montamos o seguinte esquema:

_ P _ I _ R _ C_ I _ C _ B _

Note que temos 8 espaços entre as letras para colocarmos os As, logo, temos C\binom{3}{8}.

Além disso, temos que permutar o resto das letras que sobraram (PIRCICB) que dá exatamente 7!/2!2! (lembrando que as letras I e C se repetem, por isso devemos dividir pela quantidade de letras repetidas)

Portanto, temos: 

 \frac{7!}{2!2!} C\binom{3}{8} = 70560

Victor Luz escreveu:

Victor Luz escreveu:É possível solucionar essa questão utilizando o 1° Lema de Kaplansky?

Após algumas tentativas, consegui solucionar, deixo abaixo minha resolução.

 1° lema de Kaplansky:

Primeiro, vamos colocar a letra A de maneira que não fiquem juntas. Pra isso, montamos o seguinte esquema:

_ P _ I _ R _ C_ I _ C _ B _

Note que temos 8 espaços entre as letras para colocarmos os As, logo, temos C\binom{3}{8}.

Além disso, temos que permutar o resto das letras que sobraram (PIRCICB) que dá exatamente 7!/2!2! (lembrando que as letras I e C se repetem, por isso devemos dividir pela quantidade de letras repetidas)

Portanto, temos: 

 \frac{7!}{2!2!} C\binom{3}{8} = 70560

Só cuidado q é 7!/2!2! *  C(8,3)(formas de colocar as 3 A ) *  3!/3! (formas de permutar os A)

Outra forma de fazer :
_A_A_A_  
a+b+c+d =  7(núm de letras q podem ter nesses espacinhos)
(lembrando q abcd são os espacinhos e posso ter,por exemplo, 7 = a(representa núm de letras em a )  e b=c=d = 0(nenhuma letra em bcd) ...e assim por diante)
b = b' +  1   b'》 0 e b 》 1
c= c' +  1   c'》 0 e c 》 1
(c,d ñ podem zerar se ñ os espacinhos juntam)
a + b'+ c' + d = 5
8!/5!3! (formas de colocar as letras) * 7!/2!2! (formas de permutas as letras q estou botando ) * 3!/3! (permutar as letras fixas.)