Fatoração + Polinômios.

Relembrando a primeira mensagem :

Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c = 0  e a^2+b^2+c^2 = a^5+b^5+c^5. O valor de a²+b²+c² é igual a: 

Estou tendo problemas para resolver esse problema. Gostaria de uma ajudinha de vocês, por favor.

Renan, pelo que percebi da sua tentativa, vc digitou o enunciado errado: trocou a³+b³+c³ por a²+b²+c². Sua questão está resolvida no tópico abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t80948-produtos-notaveis

Dá a reposta, caso você tenha. Isso vai ajudar enormemente.

Conhece polinômios simétricos?

O enunciado fala que S1 = 0, S2 = S5 e pede S2. 

Dá para fazer bem tranquilo. Veja:

Obs.: φ1 = a+b+c, φ2 = ab + bc + ac, φ3 = abc, Sk = a^k + b^k + c^k = φ1*S^{k-1}- φ2*S^{k-2}+φ3*S^{k-3}

Primeiro: a+b+c = 0 .:. (a+b+c)² = 0 .:. a²+b²+c² = -2*(ab+bc+ac) .:. φ2 = -S2/2

S3 = φ1*S2 - φ2*S1 + φ3*S0 .:. S3 = 0 - 0 + 3φ3 .:. S3 = 3φ3
S4 = φ1*S3 - φ2*S2 + φ3*S1 .:. S4 = 0 - φ2*S2 + 0 .:. S4 = -φ2S2 .:. S4 = S2²/2
S5 = φ1*S4 - φ2*S3 + φ3*S2 .:. S5 = 0 - φ2*3φ3 + φ3*S2 .:. S5 = 3(S2φ3)/2 + φ3S2 .:. S5 = 5(S2φ3)/2

Mas S5 = S2, então:

S2 = 5(S2φ3)/2 .:. 2S2 = 5S2φ3 .:. 2S2 - 5S2φ3 = 0 .:. S2*(2 - 5φ3) = 0 

Ou a²+b²+c² = 0 ou abc = 2/5. Como a,b e c são não nulos é impossível a²+b²+c² = 0. Então. abc = 2/5 e isso é o máximo que podemos obter.

Agora, se o certo for a³+b³+c³ = a^5+b^5+c^5, fica:

S3 = S5 .:. 3φ3 = 5*(S2φ3)/2, φ3 diferente de 0: 6 = 5S2 .:. S2 = 6/5

Poderia confirmar? Na sua resolução você usou S5 = S3, mas no enunciado você escreveu S2 = S5.

Att.,
Pedro

Muito obrigado, Luck e Pedro! 
Obrigado a todos que participaram deste tópico! Me ajudaram muito mesmo!
Digitei errado ali, pedro. Era a³+b³+c³=a^5+b^5+c^5

Não conheço não. Mas quando voltar para Poa vou baixar todos os arquivos que você mandou. Depois volto a dar uma olhada nessa resolução.
Muitíssimo obrigado.

Ah, Luck. Me interessei por essa parte de polinomios simétricos... realmente, não conhecia.
O material que você disponibilizou ali, esta offline. Teria como reupar, caso ainda tenha os arquivos? Obrigado!

Renan, você foi no último link do post? O que aparece?

Aqui foi normal.