Fatoração + Polinômios.

por Renan_AFA Sex 13 Fev 2015, 21:23

Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c = 0 e a^2+b^2+c^2 = a^5+b^5+c^5. O valor de a²+b²+c² é igual a:

Estou tendo problemas para resolver esse problema. Gostaria de uma ajudinha de vocês, por favor.

por **Elcioschin** Sex 13 Fev 2015, 21:39

Apenas trabalhoso

Calcule (a + b + c)² = 0² = 0

Calcule (a + b c)⁵ = 0

Iguale e simplifique. Se não conseguir, mostre a sua solução

E parece que a questão tem alternativas, pelo : no final
Se tiver você não está respeitando a Regra XI do fórum.

por PedroFDEA Sex 13 Fev 2015, 21:47

Não deve ter alternativas, pois parece ter sido retirada de alguma olimpíada ou exercícios preparatórios para isso.

por Renan_AFA Sex 13 Fev 2015, 21:50

De onde eu tirei o exercício, não vinha com alternativas.
É de uma postila minha. Eu estava tentando resolver como polinomio, mas não sai de jeito nenhum. Fatorando não creio que seja uma maneira 'inteligente' de resolver esse problema. Posso postar minha resolução aqui, até onde eu parei?

por PedroFDEA Sex 13 Fev 2015, 21:51

claro

por Renan_AFA Sex 13 Fev 2015, 21:58

como a+b+c = 0, criei um polinômio P(x) tal que a,b e c sejam raízes, e ele será da forma x(^3) + mx + n
m será o produto 2 a 2, ab+bc+ac, e n será - o produto 3 a 3, -abc.
a²+b²+c² = (a+b+c)² - 2(ab+ac+bc)
a³+b³+c³ = (a+b+c)³ - 3(ab+ac+bc) +3abc = a^5+b^5+c^5

a²+b²+c² = -2(ab+ac+bc)
a³+b³+c³ = -3(ab+ac+bc) +3abc = a^5+b^5+c^5

Pensei em Sn = a(^n) + b(^n) + c(^n), então S5 = S3 = -3(ab+ac+bc) -3abc = -3m+3n
S2 = (a+b+c)² - 2(ab+ac+bc) = -2m
Multipliquei P(x) por x² e substitui as raízes da seguinte forma num sistema
a(^5) + ma(^3) + na² = 0
b(^5) + mb(^3) + nb² = 0
c(^5) + mc(^3) + nc² = 0,
E ai complica tudo... não consigo eliminar uma incógnita. :/
Fica S5 +mS3 + n(S2) = 0
S5=S3
S3+m(S3) + n(S2) = 0