Inequeação Logarítma

por Lucas Lopess Sex 13 Fev 2015, 08:39

Como resolver a seguinte inequeação logarítma:
log(x-1)[2]*log(x+2)[2] ≤ 0

Obs: [2] base 2 do lagarítmo.

Desde já, eu agradeço.

por **Carlos Adir** Sex 13 Fev 2015, 10:06

$log_2(x-1)\cdot log_2(x+2) \le 0$
Por definição de logaritmo, temos que x>1.
$\\ \begin{cases}log_2(x-1)=m\\ log_2(x+2)=n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2^m=x-1 \\ 2^n=x+2 \end{cases}$
Temos que para ser verdade, então temos dois casos:
1) m é positivo e n negativo
2) n é positivo e m negativo.
No primeiro caso, temos que:
$\\ 2^n=x+2; \ n<0 \Rightarrow 2^n<2^0 \le x+2 \Rightarrow -1 \le x \\ 2^m=x-1; \ m\ge 0 \Rightarrow 2^m\ge2^0\ge x-1 \Rightarrow 2>x \\ x \in \left(1, 2 \right ]$
No segundo caso temos que será impossivel:
$\\2^n=x+2; \ n \ge 0 \Rightarrow 2^n \ge 2^0 \ge x+2 \Rightarrow -1 \le x\\ 2^m=x-1; \ m \le 0 \Rightarrow 2^m \le 2^0 \le x-1 \Rightarrow x \ge 2$
Não existe qualquer valor que satisfaça x≤-1 e 2≤x ao mesmo tempo, logo, descartamos a segunda.
Então, a resposta é:
$S=\left\{x \in \mathbb{R}: 1<x\le 2 \right \}$

por **Elcioschin** Sex 13 Fev 2015, 10:39

Outro modo, usando a tabela de sinais

...................... -2 ......... -1 .......... 1 .......... 2 .............
log(x-1) ... N ............ N .......... N ... N ... - ... 0 .... + .....
log(x+2) ... N .... N .... - .... 0 ... - .......... + ........... + .....

Final .............................................N..... - ...0 ..... + .....

Solução 1 < x =< 2

por Lucas Lopess Sex 13 Fev 2015, 11:37

Primeiramente, obrigado Carlos Adir e Elcioschin!

Mas, Carlos, poderia explicar os dois casos novamente, estou em dúvida neles.
Por exemplo, no primeiro caso, se m≥0, não seria assim:
m≥0
(2^m)≥(2^0)
(x-1)≥1
x≥2

E, Elcioschin, como encontrar as raizes nessa inequação de produto de logarítmos?

por **Carlos Adir** Sex 13 Fev 2015, 11:54

Primeiro caso:
Qual o valor máximo que 2^n assume? no caso seria bem proximo de 2^0 que equivale a 1, ou seja, x+2 deve ser maior que 1.
$2^n<2^0<1\le x+2 \Rightarrow 1\le x+2 \Rightarrow -1 \le x$
E do mesmo modo com m:
m deve ser maior que 0, logo, qual o valor minimo que m assume? quando m=0. Ou seja:
$2^m>2^0=1\ge x-1 \Rightarrow 1\ge x-1 \Rightarrow 2 \ge x$

O mesmo equivale para o outro, o segundo caso.

por **Elcioschin** Sex 13 Fev 2015, 11:58

Lucas

Na tabela de sinais eu coloquei os valores extremos 1 e -2 para os quais não existe o logaritmo (não existe logaritmo de zero)

As raízes -1 e 2 aparecem quando o logaritmando é igual a 1 (log1 = 0)

x - 1 = 1 ---> x = 2 ----> raiz
x + 2 = 1 ---> x = -1 ---> raiz