Trigonometria e somatório

por **mauk03** Sáb 31 Jan 2015, 17:46

Determine $n\in \mathbb{N}$ tal que $\sec \left ( \sum_{k=1}^{n}\arctan \left ( \frac{1}{k^{2}+k+1} \right ) \right )=\frac{\sqrt{181}}{10}$ .

Resposta:

por **jango feet** Sex 06 Fev 2015, 12:48

Bom dia!

Obs:Veja que só dá certo porque considerei o lim. inferior sendo k=0 caso contrário a diferença do primeiro membro seria: arctg(n+1)-arctg(1/3).

por **mauk03** Sex 06 Fev 2015, 14:55

jango também tinha chegado nesse resultado, mas no WolframAlpha está diferente:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+arctan%281%2F%28k%C2%B2%2Bk%2B1%29%29+from+k%3D1+to+n

Será que o WolframAlpha está errado?

por **mauk03** Sex 06 Fev 2015, 15:13

Creio que o arctan(1) apareça apenas por consequência da identidade encontrada (1/(k²+k+1) = tan(a_k+1 - a_k)), não quer dizer que é um dos termos do somatório do problema.