Produto de 4 inteiros
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Produto de 4 inteiros
por victorbsb03 Sáb 31 Jan 2015, 12:18
Dado o produto de quatro números inteiros consecutivos, determine o menor número inteiro positivo que deve ser somado a este produto, a fim de que o mesmo se transforme em um quadrado perfeito.
victorbsb03- Padawan
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Re: Produto de 4 inteiros
por ivomilton Sáb 31 Jan 2015, 12:52
Boa tarde, Victor.victorbsb03 escreveu:Dado o produto de quatro números inteiros consecutivos, determine o menor número inteiro positivo que deve ser somado a este produto, a fim de que o mesmo se transforme em um quadrado perfeito.
Como não é definido nenhum grupo de quatro números inteiros consecutivos, depreende-se de que a premissa vale para qualquer grupo.
Verifiquemos a exatidão disto:
1.2.3.4 = 24 —– próximo quadrado = 25; 25 - 24 = 1.
2.3.4.5 = 120 — próximo quadrado = 121; 121 - 120 = 1.
3.4.5.6 = 360 — próximo quadrado = 361/ 361 - 360 = 1.
Assim, esse menor número inteiro positivo deve ser o número 1.
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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Re: Produto de 4 inteiros
por Elcioschin Sáb 31 Jan 2015, 16:34
Uma solução algébrica:
Sejam x, x+1, x+2 e x+3 os quatro números consecutivos
x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = x4 + 6x³ + 11x² + 6x
Somando 1 obtém-se um quadrado perfeito ---> x4 + 6x³ + 11x² + 6x + 1 = (x² + a.x + 1)²
x4 + 6x³ + 11x² + 6x + 1 = x4 + 2ax³ + (a² + 2)x² + 2ax + 1
2a = 6 ---> a = 3
a² + 2 = 11 ---> a = 3
C.Q.D
Sejam x, x+1, x+2 e x+3 os quatro números consecutivos
x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = x4 + 6x³ + 11x² + 6x
Somando 1 obtém-se um quadrado perfeito ---> x4 + 6x³ + 11x² + 6x + 1 = (x² + a.x + 1)²
x4 + 6x³ + 11x² + 6x + 1 = x4 + 2ax³ + (a² + 2)x² + 2ax + 1
2a = 6 ---> a = 3
a² + 2 = 11 ---> a = 3
C.Q.D
Elcioschin- Grande Mestre
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