Dilatação termica

por JosePedroPHB 19/1/2015, 1:13 pm

A figura a seguir representa um retângulo formado por quatro hastes fixas
Dilatação termica 2010_Discur_Fis_questao_1

Considere as seguintes informações sobre este retângulo
-sua área é de 75cm² à tempertatura de 20ºC
-a razão entre os comprimentos LoA e LoB é igual a 3
-as hastes de comprimentos LoA são constituídas de um mesmo material, e as hastes de comprimento LoB de outro
-as relações entre os coeficientes de dilatação desses dois materiais equivale a 9

Admitindo que o retângulo se transforme em um quadrado à temperatura de 320ºC, calcule, em ºC^-1, o valor do coeficiente linear que constitui as hastes menores.
(aqui a questão termina.)

Bem, eu vi uma resolução na internet que para resolver a questão o comprimento final é igualado. Apesar de não ter pensado dessa maneira creio que a maioria das pessoas faria dessa forma, pois confesso que tenho muita dificuldade. O que eu fiz para "tentar" resolver, pois não consegui, foi igualar a dilatação térmica de LoA e LoB que são iguais. Gostaria de saber se é possível resolver a questão através dessa forma que eu estou tentando e, se possível, que alguém fizesse essa questão pelo meu método. Outra dúvida que tenho é saber qual a unidade de comprimento(se é metro, centímetro, etc) que se utiliza com ºC.

por **Fito42** 19/1/2015, 2:24 pm

Chamando o lado menor de B e o maior de A:
Para se tornar um quadrado, o comprimento final de A (A') se iguala ao comprimento final de B (B')

∆A = Aρ∆T ⇒ A' = A (1+ ρ∆T)

∆B = Bε∆T ⇒ B' = B(1 + ε∆T)

A' = B'
A (1+ ρ∆T) = B(1 + ε∆T)

3(1+ ρ∆T) = (1 + ε∆T)
∆T= 320 - 20 = 300ºC

3 + ρ900 = 1 + 300ε, dividindo por dois:
1 + 450ρ = 150ε
ε = 9ρ (as relações entre os coeficientes de dilatação desses dois materiais equivale a 9)

1 + 450ρ = 1350ρ
ρ = 1/900 ºC¹-

ε = 9ρ ⇒ ε = 0,01ºC¹-

por **Fito42** 19/1/2015, 2:28 pm

Análise dimensional:

∆L = Loβ∆θ
[D] = [D]β[T], onde D representa a medida em metros e T a temperatura em ºC
1 = β[T]
β = [T]¹-

Observe que o coeficiente não depende da medida em metros, apenas da temperatura. Logo pode utilizar m, cm, mm etc

por JosePedroPHB 19/1/2015, 2:54 pm

Fito42 escreveu:Chamando o lado menor de B e o maior de A:
Para se tornar um quadrado, o comprimento final de A (A') se iguala ao comprimento final de B (B')

∆A = Aρ∆T ⇒ A' = A (1+ ρ∆T)

∆B = Bε∆T ⇒ B' = B(1 + ε∆T)

A' = B'
A (1+ ρ∆T) = B(1 + ε∆T)

3(1+ ρ∆T) = (1 + ε∆T)
∆T= 320 - 20 = 300ºC

3 + ρ900 = 1 + 300ε, dividindo por dois:
1 + 450ρ = 150ε
ε = 9ρ (as relações entre os coeficientes de dilatação desses dois materiais equivale a 9)

1 + 450ρ = 1350ρ
ρ = 1/900 ºC¹-

ε = 9ρ ⇒ ε = 0,01ºC¹-

Creio que entendi sua explicação. Mas o que eu quero saber é se posso responder igual a dilatação termica, que é igual nas duas, ao invés de descobri o resultado igualando comprimento como você fez. E se possível, gostaria que você demostrasse.

por **Fito42** 19/1/2015, 3:26 pm

Como assim "igual dilatação" nas duas? Você se refere à variação do comprimento ∆L ? Se for, você não pode, pois teríamos:
∆A = ∆B

A' - A = B' - B, mas A' = B'
B = A, mas A = 3B, então teríamos um sistema impossível.

Você pode igualar duas coisas: o comprimento final e a variação da temperatura:
∆T = ∆A / ρ

∆T = ∆B / ε

∆A / ρ = ∆B / ε

∆A ε = ρ ∆B
∆A 9 = ∆B
Observe que a haste menor variou 9 vezes a mais

por JosePedroPHB 19/1/2015, 3:27 pm

Ops! Eu quis dizer igual variação de temperatura.

por JosePedroPHB 19/1/2015, 3:27 pm

Igualar*

por **Fito42** 19/1/2015, 6:12 pm

Não dá certo:
∆T = ∆A / ρA
∆T = ∆B / εB
Igualando:
∆A /ρA = ∆B /εB
∆AεB = ∆BρA
∆A9B = ∆BA

A' = B' e A = 3B
(B' - B)9B = (B'-B)(3B)
3B' - 3B = 3B' - 3B
1=1

por JosePedroPHB 19/1/2015, 6:14 pm

Obrigado!

por JosePedroPHB 19/1/2015, 7:22 pm

Desculpa eu incomodar novamente, mas acontece que os cálculos não estão batendo. Você fez ∆t=∆x/(coeficiente de x). Mas aqui ta dando ∆t=-Lo(comprimento inicial)/(coeficiciente de x). Eu faço assim: ∆L=Lo+(coef. de x)∆t =>∆t=∆L-Lo/(coef. de x)=> ∆t= (L-Lo)-Lo/coef. de x). Como você consegue isolar o ∆t do Lo?
Obs: x é uma variável qualquer.