Equação irracional - Iezzi

por Lucas Z Seg 19 Jan 2015, 10:26

sabendo que a e b são números reais e positivos, resolver a equação:
$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\sqrt{b}$
Resposta: $b\geq 1\Rightarrow S=\left \{ \frac{2a\sqrt{b}}{b+1} \right \}$

Eu até consegui chegar a esse conjunto solução, mas não entendo o porquê de b ter que ser maior ou igual a 1.

por **Carlos Adir** Seg 19 Jan 2015, 11:49

Primeiro, vamos racionalizar:
$\\ \dfrac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\dfrac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} \times \dfrac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}} \\ = \dfrac{\left(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x} \right )^2}{\sqrt{a+x}^2-\sqrt{a-x}^2}=\dfrac{a+x+2\sqrt{a+x}\sqrt{a-x}+a-x}{a+x-a+x} \\ =\dfrac{2a+2 \sqrt{a^2-x^2}}{2x}=\dfrac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\sqrt{b}$
Temos então, que a expressão inicial vira:
$\dfrac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\sqrt{b}$
Agora é só resolver:
(Isto me lembra uma equação de segundo grau em função de b):
$\\ \dfrac{a+\sqrt{a^2-\\ x^2}}{x}=\sqrt{b} \\ \sqrt{b}=\dfrac{- (-2a)+2\sqrt{a^2-x^2}}{2 \cdot x}\\ \sqrt{b}=\dfrac{-\left(-2a \right )+\sqrt{4a^2-4x^2}}{2 \cdot x} \\ \sqrt{b}=\dfrac{-(-2a)+\sqrt{(-2a)^2-4 \cdot x \cdot x}}{2 \cdot x}\\ x(\sqrt{b})^2-2a \cdot \left(\sqrt{b}\right)+x=0 \\ bx-2a\sqrt{b}+x=0 \\ \Rightarrow x=\dfrac{2a\sqrt{b}}{b+1}$

Quanto ao B:
Vamos substituir o valor de x encontrado, na expressão
$\dfrac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\sqrt{b}$
$\\ \dfrac{a+\sqrt{a^2 - \left(\dfrac{2a\sqrt{b}}{b+1} \right )^2}}{\left(\dfrac{2a\sqrt{b}}{b+1} \right )}=\sqrt{b}\\ \Rightarrow 1+\sqrt{b^2-2b+1}=b$
$\\ \sqrt{b^2-2b+1}=b-1 \\ \Rightarrow \sqrt{\left(b-1 \right )^2}=b-1 \\ \Rightarrow |b-1| = b-1$

No caso, temos que vale a igualdade se, e somente se b>=1

por Lucas Z Ter 20 Jan 2015, 08:22

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