Uma classe contém 9 rapazes e 3 garotas

por OliviaTate Qui 01 Jan 2015, 16:10

Uma classe contém 9 rapazes e 3 garotas.
a) De quantas maneiras o professor pode formar uma comissão de 4 estudantes?
495
b) Quantas das comissões formadas contêm, pelo menos, uma garota?
369
c) Quantas contêm exatamente uma garota?
252
d) Em quantas das comissões formadas os rapazes constituem a maioria?
378

Eu consegui fazer a letra a, b e c... Todavia, travei na letra D! Alguém me ajuda?

por **Nina Luizet** Qui 01 Jan 2015, 16:45

3 rapazes maioria :
C 9,3 = 84
C 9 ,3 = 3 x 84 = 252

4 rapazes maioria :
C 9,4 = 126

Total, comissões com 3 rapazes ou com 4 rapazes =
126 + 252 = 378 no total

por **Carlos Adir** Qui 01 Jan 2015, 16:46

Vamos primeiro às possibilidades, podemos formar grupos com:
01) 0 garotas e 4 rapazes
02) 1 garota e 3 rapazes
03) 2 garotas e 2 rapazes
04) 3 garotas e 1 rapazes
05) 4 garotas e 0 rapazes

Na primeira, temos que escolher 4 rapazes, então combinação de 9 por 4, ou seja.
$\dfrac{9 !}{(9-4)!4!}=126$
Na segunda, temos que escolher 1 garota dentre 3, e 3 rapazes, então combinação de 9 por 3 vezes 3.
$\left(\dfrac{9 !}{(9-3)!3!} \right ) \cdot 3=252$
Na terceira, temos que escolher 2 garotas e 2 rapazes:
$\left(\dfrac{9!}{(9-2)!2!} \right )\cdot \left(\dfrac{3!}{(3-2)!2!} \right )=108$
Na quarta, temos:
$\left(\dfrac{9!}{(9-1)!1!} \right )\cdot \left(\dfrac{3!}{(3-3)!3!} \right )=9$
Na quinta, temos que não temos nenhuma possibilidade, pois não temos 4 garotas, o máximo é 3.

Então:
a)126+252+108+9=495
b)Podemos somar a segunda, terceira e quarta, ou pegarmos 495-126=369 maneiras.
c)252, no segundo caso
d)Se o número de rapazes forem iguais, então não entra no número, logo: 126+252 = 378