(EPUSP-43)Equação

Determinar p e q de modo que a equação x^4+px^3+2x^2-x+q=0, apresente duas raízes recíprocas entre si e as outras com soma igual a 1.
r:p=-2 e q=0 ou p=-1 e q=1

x^4 + p*x³ + 2*x² - x + q = 0

Raízes recíprocas ----> a, 1/a

Outras duas raízes ----> b + c = 1

Usando relações de Girard:

a + 1/a + b + c = -p -----> a + 1/a + 1 = - p ----> Equação I

a*(1/a) + ab + ac + (1/a)*b + (1/a)*c + b*c = 2 ----> 1 + ab + ac + b/a + c/a + bc = 2 ----> a*(b + c) + (1/a)*(b + c) = 1

a + 1/a + bc = 1 -----> Equação II

a*(1/a)*b + a*(1/a)*c + abc + (1/a)*bc = 1 ----> b + c + abc + bc/a = 1 ----> abc + bc/a = 0 ----> bc*(a + 1/a) = 0 ----> III

Temos 2 possibilidades:

I) a + 1/a = 0 ----> (a² + 1)/a = 0 ----> a² + 1 = 0 ---> a² = -1 ----> Sem solução real

II) bc = 0 -----> Ou b ou c = 0 ----> Para b = 0 ---> b + c = 1 ----> c = 1


a*(1/a)*b*c = q ----> bc = q -----> 0*1 = q ----> q = 0

II ----> a + 1/a + bc = 1 ----> a + 1/a = 1 -----> Equação IV

I ----> a + 1/a + 1 = - p ----> 1 + 1 = - p ----> p = -2