Semelhança de triângulos

por **alansilva** Sáb 27 Dez 2014, 23:27

Em um triângulo ABC, os pontos D, E e F estão sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente, tais que ∠AFE=∠BFD, ∠BDF=∠CDE e ∠CED=∠AEF.

Semelhança de triângulos Ej9ag5

a) Prove que ∠BDF=∠BAC.
b) Se AB=5, BC=8 e CA=7, determine o comprimento de BD.

Sem gabarito!!!

por **Elcioschin** Dom 28 Dez 2014, 09:18

Sejam x = ∠AFE =∠BFD, y = ∠BDF =∠CDE e z = ∠CED =∠AEF.

∆ ABC --->  A + B + C = 180º ---> I

∆ AEF --->  A + x + z = 180º ---> II

∆ BDF --->  B + x + y = 180º ---> III

∆ CDE --->  C + y + z = 180º ----> IV

__________________________

(A + B + C) + 2.(x + y + z) = 540º ---> 180 + 2.(x + y + z) = 540º ---> x + y + z = 180º ---> V

∆ AEF ---> x + A + z = 180º ---> VI

Comparando V e VI ---> y = A ---> ∠BDF =∠BAC

Deixo b para você resolver

por **raimundo pereira** Dom 28 Dez 2014, 21:41

Ítem 2.

1 -É sabido que o ponto de concurso das 3 alturas de um triângulo é o ortocentro.
2 - Sabe-se tembém que se ligarmos os pés dessas tres alturas formamos um triângulo que é denominado triângulo órtico do triâng. que circunscreve esse triâng. órtico.
3 - Observando o desenho, vemos que o vértice D do triâng. órtico é o pé da altura do triâng. ABC, e por isso forma um âng. reto com o lado BC, consequentemente, o triâng. ABD é retângulo.
5 - Aplicando a fórmula de Heron h(a)=2 . Vp.(p-a).(p-b).(p-c)/a para calcular a altura de ABC em rel. ao lado BC , temos que AD= 5V3/2.
6 - Aplique Pítágoras em ABD e ache BD=2,5.

por **alansilva** Dom 28 Dez 2014, 23:43

Muito obrigado aos dois.

por danielzin_solar2 Seg 05 Jan 2015, 23:25

Boa noite Raimundo!!!

Como que eu faço pra entender que o segmento AD coincide com a altura do triângulo ABC?

Obrigado!

por **raimundo pereira** Qui 08 Jan 2015, 19:29

No ítem 2 - falamos que o triângulo órtico é o triângulo formado quando unimos os pés das altura do triâng. que circunscreve o triângulo órtico, consequentemente o vértice D do triâng. órtico DEF, corresponde ao pé da altura oposta a esse vértice. Enrrolei ????

Saiba mais sobre triãang. órtico - Livro Geometri I A C Morgado , página 72.