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Encontre todos os pares (x , y) de inteiros tais que .

Olá, Tilibra123.

x³-y³ = 3(x²-y²) .:. (x-y)(x²+xy+y²) - 3(x-y)(x+y) = 0 .:. (x-y)[x²+y²+xy-3x-3y] = 0 .:. (x-y)[x²+x(y-3)+(y²-3y)] = 0

Para x diferente de y:

x² + x(y-3) + (y²-3y) = 0 

Como queremos soluções reais:

(y-3)² - 4*1*(y²-3y) >= 0 .:. y²-6y+9-4y²+12y >= 0 .:. -3y²+6y+9 >= 0 .:. -1 <= y <= 3

Para y = -1: x = (4 +- 0)/2 .:. x = 2
Para y = 0: x = (3 +- 3)/2 .:. x = 0 ou x = 3
Para y = 1, x não é inteiro.
Para y = 2: x = (1 +- 3)/2 .:. x = 2 ou x = -1
Para y = 3: x = (0 +- 0)/2 .:. x = 0

Então, os pares são: (2,-1);(0,0);(3,0);(-1,2);(2;2);(0,3)

Não se esqueça do caso (x,x), que também é solução (x pertencente aos reais).

Att.,
Pedro

Obrigado.